Геометрический расчёт шкива

[astertr]

Здравствуйте. Вот такая задача попалась на производстве.



Это два грубо говоря колеса с известными радиусами. Также известна длина "ремня", опоясывающего оба колеса. $L=400$ мм. Требуется найти $X$ (то есть межцентровое расстояние)

Как решали мы с другом:



Ввели угол альфа и пишем систему уравнений



Первое выражение – понятно.
Во втором первые два слагаемые – вывод длин дуг через угол альфа, третье слагаемое – длина касательного к двум окружностям отрезка.

При решении этой системы после упрощений и подстановок вылезло уравнение типа $A\tg(x)+Bx=C$. Как его решать я ума не приложу.
Либо может подскажете более лёгкий способ вывода $X$?

[bot]

Численно, только не забудьте, что $\alpha$ надо выражать в радианах, а не в градусах.

[astertr]

Численно не надо, нужна именно функция. Так как исполнения с разными параметрами будут появляться часто.

[nikvic]

astertr в сообщении #654021 писал(а):

Численно не надо, нужна именно функция. Так как исполнения с разными параметрами будут появляться часто.

Cоставьте таблицу или достаточно подробную систему графиков.

Входы таблицы - отношение радиусов и отношение длины "ремня" к одному из них (или полусумме).

Всё делается в экселе, например.

[bot]

astertr в сообщении #654021 писал(а):

нужна именно функция

Её нет.

[astertr]

Значит ли это, что система нерешаема? По радиусам и длине ремня можно однозначно определить межцентровое расстояние (по крайней мере графически). Аналитически почему нельзя?

[nikvic]

astertr в сообщении #654033 писал(а):

Значит ли это, что система нерешаема? По радиусам и длине ремня можно однозначно определить межцентровое расстояние (по крайней мере графически). Аналитически почему нельзя?

Есть тьма функций, не имеющих "формульного" выражения через т.н. элементарные. Некоторые получили имя и хорошо табулированы. Не исключено, что и Ваш случай попадает в "именные", но бывает проще организовать счёт самому.
Эксель-то есть?
====
Когда-то инженеры пользовались готовыми номограммами

[ewert]

astertr в сообщении #654011 писал(а):

вылезло уравнение типа Atg(x)+Bx=C.

Оно заметно проще: $\tg\alpha-\alpha=C$, где $C=\dfrac{L-2\pi R}{2(R-r)}$ (если, конечно, альфу выражать в радианах). И хотя явно оно всё равно не решается, но уж затабулировать зависимость $\alpha$ от $C$ совсем нетрудно. Если же неохота возиться с таблицами, то можно, скажем, находить решение методом Ньютона: $\alpha_{k+1}=\alpha_k-\dfrac{\tg\alpha_k-\alpha_k-C}{\tg^2\alpha_k}$, беря в качестве начального приближения $\alpha_0=\arctg(\frac{\pi}2+C)$. Вряд ли "на производстве" встретятся $C$ меньше единицы или даже двойки, а тогда для исчерпания машинной точности понадобится не более пяти шагов по этой рекуррентной формуле.