Образ отображения

[Ward]

Здравствуйте!

Нужно найти образ множества $\{z\notin(-\infty, 0], z\notin[1, +\infty)\}$ при отображении $w=\ln z,$ $w(i)=\frac{\pi i}{2}$

Моя попытка решения: $\text{Ln}(z)=\ln|z|+i\arg z+2\pi k i$, где $k\in \mathbb{Z}$
Подставляя сюда начальное условие получаю, что $k=0$
Значит, наше отображение имеет вид $\text{Ln}(z)=\ln|z|+i\arg z$
Теперь смотрю куда переходят границы $(-\infty, 0)$ и $(1, +\infty)$
Первая переходит в линию $\text{Im} z=\pi$, а вторая переходит в линию $(0, +\infty)$ но так как точка $i$ переходит в $\frac{\pi i}{2}$, то наша область переходит в область $\{\text{Im}w<\pi, w\notin [0, +\infty)\}$, но а почему-то в книге ответ такой $\{|\text{Im}w|<\pi, w\notin [0, +\infty)\}$

Может кто-нибудь это объяснить? Откуда там взялся модуль? Никак не могу понять.

[xmaister]

Ward в сообщении #653508 писал(а):

Нужно найти образ множества $\{z\notin(-\infty, 0], z\notin[1, +\infty)\}$

Для начала надо определить область определения и область значений отображения.

[Ward]

xmaister
А зачем нам это нужно?
Просто я комплексный анализ недавно начал изучать и не совсем еще понимаю.
Область значений и область определения отображения $\text{Ln}(z)=\ln|z|+i\arg z$?

[xmaister]

Ward
Затем, что пока не определена область определения и область значения, отображения просто нет.

Ward в сообщении #653522 писал(а):

$\text{Ln}(z)=\ln|z|+i\arg z$

Комплексный логарифм- штука многозначная. Отображение по определению- не может принимать 2 различных значения в одной точке. Уточните, какую ветвь логарифма Вы рассматриваете.

[Ward]

Да комплексный-логарифм штука многозначная. Это я читал.
Но ведь в начале было же начальное условие $w(i)=\frac{\pi i}{2}$, а комплексный логарифм определяется так: $\text{Ln}(z)=\ln|z|+i\arg z+2\pi k i$
Я подставил сюда $\frac{\pi i}{2}=\ln|i|+i\arg i+2\pi k i$ и получаю, что $\frac{\pi i}{2}=0+\frac{\pi i}{2}+2\pi k i$, а отсюда $k=0$.
Значит, мы рассматриваем ветвь $\text{Ln}(z)=\ln|z|+i\arg z$
Если я Вас неправильно понял, то извиняюсь xmaister

[xmaister]

Я Вас не понял. Отображение из $\mathbb{C}$ в $\mathbb{C}$ по прежнему не определено, поэтому искать образ не понятно чего не имеет смысла. Ещё раз: для определния отображения нужно задать область определния, область значения и его график. Пока я не вижу, чтобы Вы это сделали. Кто такие $\omega,\omega (i)$?

[Ward]

Я Вас тоже не понимаю.
$w, w(i)$ это в задаче дано. Это отображение.
Раз я неправ, тогда где моя ошибка?

-- 03.12.2012, 16:41 --

У нас дано отображение $w=\ln z$ и $w(i)=\frac{\pi i}{2}$
Я взял подставил и определил отображение. Что тут не верно?

[ewert]

Ward в сообщении #653508 писал(а):

Откуда там взялся модуль?

Забудьте на время про разрез по $[1;+\infty)$, пусть пока этого разреза нет. Куда логарифм переводит то, что осталось -- плоскость со стандартным разрезом от минус бесконечности до нуля?... Только не забывайте, что у разреза два берега.

[Ward]

ewert
а то, что у $(-\infty, 0]$ два берега это важно? Я не знал об этом.
Я думаю, что логарифм переводит это в горизонтальную линию, проходящая через $\pi i$

[ewert]

Ward в сообщении #653592 писал(а):

а то, что у $(-\infty, 0]$ два берега это важно?

Естественно. Логарифм потому и многозначен, что не может быть однозначно продолжен через разрез. Т.е. при непрерывном продолжении с верхнего берега вниз получатся не те значения, что при обратном продолжении на нижний берег по часовой стрелке.

[Ward]

ewert в сообщении #653598 писал(а):

Т.е. при непрерывном продолжении с верхнего берега вниз получатся не те значения, что при обратном продолжении на нижний берег по часовой стрелке.

ewert т.е. Вы имеет ввиду что если двигаться по верхнему берегу к нулю и по нижнему берегу к бесконечности, то получатся разные значения да?

[ewert]

Сделайте при фиксированном расстоянии до начала координат один оборот с нижнего берега на верхний (в стандартном направлении). Как изменится значение логарифма?

[Ward]

ewert
не знаю может я Вас неправильно понимаю... но попробую объяснить что у меня получилось.
Допустим взял я число $-3$
- если я двигаюсь от $-3$ к нулю, то логарифм меняется от $\ln 3$ до $-\infty$
- если я двигаюсь от нуля к $-3$, то логарифм меняется от $-\infty$ до $\ln 3$
Да еще у чисел лежащие на оси $(-\infty, 0)$ аргумент равен $\pi$
Опять неверно да у меня?

[ИСН]

Я вообще не понимаю, к чему все эти разговоры. Тупо: в каких пределах меняется Im логарифма (не всего, а этой конкретной ветви)?

[Ward]

ИСН
Im логарифма?