Задача из теории меры

[geniy88]

Задача: Пусть $(X,M, \mu)$ является пространством конечной меры и $L_0$ пространство измеримых функций $f:X \rightarrow \mathbb{R}$. Для $f,g \in L_0$ определим метрику
$d(f, g)= \int min(1, |f-g|) d \mu$

a) Покажите, что $(L_0, d)$ является метрическим пространством.
b) Покажите, что для $f,f_n \in L_0, d(f_n, f) \rightarrow 0$ тогда и только тогда $f_n \rightarrow f$ по мере
c) Покажите, что последовательность $f_n$ являетс Коши по нашей метрике тогда и только тогда она коши по мере.

Пункт (a) легко показать, используя симметричность и правило треугольника. В пункте (b) я могу показать, что если последовательность $f_n$ стремится к $f$ в $L_0$ тогда она стремится к ней по мере, но обратное не получается. Думаю в (c) первая часть аналогична (b).
Как показать, что если последовательность стремится по мере то она стремится в $L_0$?

Заранее спасибо!

[sup]

В задаче присутствует условие: пространство конечной меры. Это ж-ж-ж-ж не спроста $\copyright$

[geniy88]

а что это дает?

[sup]

Хм, ну если ничего не дает, то зачем оно нужно? Просто так, для красного словца? Вряд ли.
С другой стороны. Вы хотите показать, что "расстояние" $d(f_n, f)$ стремится к 0. А это расстояние суть некий интеграл. Вот и займитесь оценкой этого интеграла. Может условие и пригодится. Поскольку задача носит очень общий характер, то должно быть что-то совсем простое.

[geniy88]

Предположим, что $f_n$ сходится по мере к $f$ тогда, $\mu (\{x: |f_n - f| \ge \epsilon\}) < \epsilon$. Обозначим через $E_n_{\epsilon}= \{x: |f_n - f| \ge \epsilon\}$. Тогда
$\int min(1, |f_n - f|) d\mu < \int_{E_n{c}} |f_n - f| d \mu} < \mu (E_n_c) < \epsilon$

Здесь следует учесть то что $|f_n - f|< 1$ иначе бы $f_n$ не стремислась к $f$ в $L_0$

Так?