Каждый автоморфизм на N есть перестановка простых чисел?

[nglain]

Доказать, что каждый автоморфизм на множестве $\mathbb{N}$ с порядком "быть делителем" $(m<n \Leftrightarrow n \vdots m)$ в точности определяется перестановкой простых чисел.

Как доказать? С чего начать? Только не решайте за меня пожалуйста, подскажите, я хочу разобраться...

[TOTAL]

Понять, что надо доказать. С этого начните.

[xmaister]

Может я чего-то не понял, но какие морфизмы вообще Вы тут рассматриваете? Как стандартные моноидные?

[nglain]

TOTAL, Я понимаю что нужно доказать. Думаю тут лучше начать так, предположим, что есть автоморфизм образованный не перестановкой простых чисел, а как-то иначе, тогда...

xmaister, Я не совсем понял что вы имеете ввиду, я рассматриваю только автоморфизмы, т.е. биективные гомоморфизмы на себя.

[xmaister]

Что такое гомоморфизм?

[nglain]

гомоморфизм - отображение которое "уважает" порядок, т.е. $f(ab) = f(a) f(b)$

[g______d]

Автоморфизм, видимо, имеется в виду как автоморфизм упорядоченных множеств. Мне кажется, что проще всего ответить на 2 вопроса:

1. Каким может быть его действие на простых числах?

2. Что можно сказать, если известно его действие на простых числах?

[TOTAL]

nglain в сообщении #652205 писал(а):

TOTAL, Я понимаю что нужно доказать.

Что именно?

[xmaister]

nglain в сообщении #652209 писал(а):

$f(ab) = f(a) f(b)$

Этот Ваш автоморфизм- мультипликативная функция. Ясно, что чтобы такую $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ задать достаточно определить значения в простых числах (из-за факториальности $\mathbb{Z}$). Т.к. $f$- биекция, то $f|_{\mathbb{P}}$- тоже биекция. Я ответил на Ваш вопрос?

[nglain]

g______d,
1. Действием автоморфизма на простых числах и будут всевозможные перестановки простых чисел, в том числе и тождественную.
2. Если известно его действие на простых числах, то известно его действие и на всех остальных.

TOTAL, Можно сказать, что нужно доказать, что между множеством всех автоморфизмов $\mathbb{N}$ и множеством всех перестановок простых чисел существует биекция.

-- 30.11.2012, 23:10 --

xmaister, Из этих размышлений, как я думаю, можно лишь сказать, что любая перестановка простых чисел является автоморфизмом на $\mathbb{N}$, но необходимо доказать, что именно перестановками простых чисел исчерпываются автоморфизмы на $\mathbb{N}$. Т.е. кроме таких перестановок других автоморфизмов не найдется...

[TOTAL]

nglain в сообщении #652217 писал(а):

необходимо доказать, что именно перестановками простых чисел исчерпываются автоморфизмы на $\mathbb{N}$. Т.е. кроме таких перестановок других автоморфизмов не найдется...

С чего это?

[nglain]

TOTAL, Я так понял задачу, у нас же каждый автоморфизм должен определяться перестановкой простых чисел.

[TOTAL]

nglain в сообщении #652228 писал(а):

Я так понял задачу, у нас же каждый автоморфизм должен определяться перестановкой простых чисел.

Пока не напишите расшифровку того, что именно нужно доказать, так и будет продолджаться эта бла-бла. (То автоморфизм исчерпывается перестановкой простых чисел, то он определяется перестановкой простых чисел.)

[nglain]

TOTAL в сообщении #652231 писал(а):

(То автоморфизм исчерпывается перестановкой простых чисел, то он определяется перестановкой простых чисел.)

Необходимо доказать, что каждый автоморфизм - это перестановка каких-то простых чисел.

[arseniiv]

Не получится — неверно. Если меняет 2 и 3, должен менять и 14 и 21.