C5

[yonkis]

Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение $ax-1=\sqrt{8x-x^2-15}$ имеет ровно 1 решение.
Я привел уравнение к виду: $ax=\sqrt{1-(x-4)^2}+1$

ну вот с веером прямых все понятно, там $a \in (\frac{1}{5};\frac{1}{3}]$
а как с касательной быть? учитель говорил, что можно провести перпендикуляры, будут равные треугольники, у них равные углы, потом через формулу тангенса двойного угла можно найти полный угол, т.е. и значение $a$
только вот не помню: откуда и куда перпендикуляры опустить?

[nikvic]

Веер прямых нарисован неверно.

[ИСН]

yonkis в сообщении #652032 писал(а):

только вот не помню: откуда и куда перпендикуляры опустить?

А у Вас что, очень дофига вариантов?

[yonkis]

nikvic в сообщении #652034 писал(а):

Веер прямых нарисован неверно.

почему?

[gris]

Мысленно дорисуйте нижнюю половину окружности. Видите вторую касательную? А что перпендикулярно касательной? И что там известно про две касательные из одной точки?
Веер сойдёт. Можно пунктирчиком ещё один лучик нарисовать.

+++ Да, из центра.

[yonkis]

gris
т.е из центра окружности к касательной и к оси абсцисс?

[nikvic]

yonkis в сообщении #652036 писал(а):

nikvic в сообщении #652034 писал(а):

Веер прямых нарисован неверно.

почему?

А, для "после преобразования"...

А не пробовали "оквадратить" исходное уравнение?

[VAL]

yonkis в сообщении #652032 писал(а):

Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение $ax-1=\sqrt{8x-x^2-15}$ имеет ровно 1 решение.
Я привел уравнение к виду: $ax=\sqrt{1-(x-4)^2}+1$

ну вот с веером прямых все понятно, там $a \in (\frac{1}{5};\frac{1}{3}]$
а как с касательной быть? учитель говорил, что можно провести перпендикуляры, будут равные треугольники, у них равные углы, потом через формулу тангенса двойного угла можно найти полный угол, т.е. и значение $a$
только вот не помню: откуда и куда перпендикуляры опустить?

Можно обойтись и без перпендикуляров. Достаточно приравнять к нулю дискриминант возникающего квадратного уравнения. Только по ходу придется возводить обе части уравнения в квадрат. Поэтому надо будет отбросить постороннее значение $a$ (соответствующее горизонтальной касательной).

[TOTAL]

yonkis в сообщении #652040 писал(а):

gris
т.е из центра окружности к касательной и к оси абсцисс?

Искомый параметр $a$ - это тангенс какого угла?

[yonkis]

TOTAL
того, который составляет касательная с осью абсцисс

[INGELRII]

Производными можно пользоваться? Тогда бы корень можно было вышвырнуть без всякого возведения в квадрат.

[TOTAL]

yonkis в сообщении #652089 писал(а):

[b]того, который составляет касательная с осью абсцисс

Тангенс половины этого угла найдете?

[yonkis]

$tg\alpha =\frac{1}{4}$
$tg2\alpha =\frac{8}{15}$
Ответ: $a\in [\frac{1}{5};\frac{1}{3})\bigcup{}\left\{\frac{8}{15} \right\}$

[nikvic]

yonkis в сообщении #652155 писал(а):

$tg\alpha =\frac{1}{4}$
$tg2\alpha =\frac{8}{15}$
Ответ: $a\in [\frac{1}{5};\frac{1}{3})\bigcup{}\left\{\frac{8}{15} \right\}$

Там ровно 2 решения, верхняя и нижняя касательные.
И ничего больше.

[gris]

Два было бы после возведения в квадрат без учёта последствий. А так — точка и полуоткрытый интервал, всё правильно.