Помогите найти предел!

[pacmanA]

lim((x^3+x^2+x+1)^(1/3)-((x^2+x+1)^(1/2))*(ln(e^x+x))/(x)) при x стремящимуся к бесконечности. Пример на правило Лопиталя из Демидовича №1369. Помогите пожалуйста решить очень надо уже второй день голову ломаю. Заранее Спасибо даже за любую подсказку! Жду ваших советов!

[cepesh]

Используйте тег MATH

$$\lim\limits_{x \to +\infty} \left[\sqrt[3]{x^3+x^2+x+1}-\sqrt{x^2+x+1} \frac{\ln(e^x+x)}{x}\right]$$

[pacmanA]

Извеняюсь что не написал в нормальной форме. Так что люди помочь сможете мне очень надо его решить. Пожалуйста Помогите Буду Очень Благодарен! Заранее Спасибо!

[matematikFromMati]

$\frac {\ln(e^x+x)} {x} = 1+ \frac {\ln(1+\frac {x}{e^x})} {x} $
тогда получим
$ \sqrt[3]{x^3+x^2+x+1}-\sqrt[2]{x^2+x+1}-\sqrt[2]{x^2+x+1}*\frac {\ln(1+\frac {x}{e^x})} {x} $
тогда при $x\to +\infty$ последнее слагаемое стремится к нулю
$ \sqrt[3]{x^3+x^2+x+1}-\sqrt[2]{x^2+x+1} $
Обозначим a = \sqrt[3]{x^3+x^2+x+1} , b=\sqrt[2]{x^2+x+1}
По основной формуле элементарной алгебры
$ a-b = \frac {a^6-b^6} {a^5+a^4*b+ ... + a*b^4+b^5} $
тогда упростив и разделив числитель и знаменатель на $x^5$
и перейдя к пределу получим $ -\frac {1}{6} $

[cepesh]

А покажите, пожалуйста, строго стремление к нулю последнего слагаемого

[bekas]

Гораздо проще показать стремление к 1 выражения ln(e**x + x) / x применяя правило Лопиталя и тогда предел выражения сведется к тем же (a - b)

[matematikFromMati]

$ \sqrt[2]{x^2+x+1}*\frac {\ln(1+\frac {x}{e^x})} {x} = \sqrt[2]{1+\frac {1}{x}+\frac {1}{x^2}} \ln(1+\frac {x}{e^x}) $
в пределе получим $ \sqrt[2]{1}*\ln(1) $
что-то не так?

[cepesh]

вроде все в порядке, спасибо

[pacmanA]

Всем большое спасибо что помогли разобраться с примером, как я сам не догодался что $\frac{\ln(e^x+x)}{x}$ вообще можно отбросить т. к. стремится к 1. А оставшеюся часть надо найти с помощью правила Лопиталя(т. к. пример нужно решить только пользуясь правилом Лопиталя). Ну с этим я уже сам справился вот выкладываю:

$$\lim\limits_{x\to+\infty}\left[\sqrt[3]{x^3+x^2+x+1}-\sqrt{x^2+x+1}\right]=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[3]{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}}-\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}}{\frac{1}{x}}$$

К этому можно применить правило Лопиталя т. к. неопределенность $\left[\frac{0}{0}\right]$,после нахождения производной и не трудных преобразований получим:

$$\lim\limits_{x\to+\infty}\left[\frac{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{3\sqrt[3]{(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3})^2}}-\frac{1+\frac{1}{x}}{2\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}}\right]=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}$$

Вот и все наконец-то я решил этот пример, спасибо всем кто принимал участие!

[dm]

bekas писал(а):

Гораздо проще показать стремление к 1 выражения ln(e**x + x) / x применяя правило Лопиталя и тогда предел выражения сведется к тем же (a - b)

pacmanA писал(а):

Всем большое спасибо что помогли разобраться с примером, как я сам не догодался что $\frac{\ln(e^x+x)}{x}$ вообще можно отбросить т. к. стремится к 1. А оставшеюся часть надо найти с помощью правила Лопиталя(т. к. пример нужно решить только пользуясь правилом Лопиталя). Ну с этим я уже сам справился вот выкладываю:

$$\lim\limits_{x\to+\infty}\left[\sqrt[3]{x^3+x^2+x+1}-\sqrt{x^2+x+1}\right]=\ldots$$

Здесь есть тонкий момент. Из того, что $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln(e^x+x)}{x}=1$ не следует автоматически, что
\begin{gather*}\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt[3]{x^3+x^2+x+1}-\sqrt{x^2+x+1}\, \frac{\ln(e^x+x)}{x}\right)\\ =\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt[3]{x^3+x^2+x+1}-\sqrt{x^2+x+1} \right).\end{gather*}
Это нужно проверять. Как выше писалось, аккуратно учитывать бесконечно малые.