Ограниченно-компактные многообразия

[nikmez]

Назовем гладкое связное риманово многообразие M ограниченно-компактным, если любой замкнутый шар в M является компактным. Расстоние на M введем как $\varrho (x, y) = \inf_{\gamma[x,y]} |\gamma|$, где $\gamma[x,y]$ - множество всех спрямляемых кривых, соединяющих точки x и y. Введем расстояние между кривыми $\gamma_1, \gamma_2$:
$d(\gamma_1, \gamma_2) = \inf_{r_1, r_2} \sup_{t \in [0,1]} \varrho(r_1(t),r_2(t))$, где $r_1(t), r_2(t)$ - все возможные параметризации $\gamma_1, \gamma_2$ соответственно.

1. Доказать, что множество кривых на М с расстоянием d образует полное метрическое пространство.
2. Доказать, что множество кривых на M таких, что
$|\gamma| \le l$ и соединяющих фиксированные точки x, y, компактно.
3. Доказать, что существует кривая наименьшей длины, соединяющая точки x и y.

Подскажите пожалуйста, если кто знает, вдруг где-то это можно прочитать..
Либо какие-нибудь идеи, хотя бы как компактность доказывать..

[Sonic86]

(формулы)

$\inf, \sup$

\inf, \sup