Диффур. Понижение порядка.

[Limit79]

$yy''-yy' \ln(y)=(y')^2$

Понижаем порядок: $y'=p, y''=p'p$ :

$yp'p-yp \ln(y)=(y')^2$

Находим $p= \frac{y (\ln(y))^2}{2} + y \cdot C_{1}$

И далее:

$y' = \frac{y (\ln(y))^2}{2} + y \cdot C_{1}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{y (\ln(y))^2}{2} + y \cdot C_{1}$

$\frac{dy}{\frac{y (\ln(y))^2}{2} + y \cdot C_{1}} = dx$

Не могу взять интеграл: $\frac{dy}{\frac{y (\ln(y))^2}{2} + y \cdot C_{1}}$

Может я что-то делаю не так?

-- 28.11.2012, 18:40 --

Свои рассуждения считаю где-то неверными, так как вольфрам находит решение .

[Slip]

$\frac{dy}{y}=\ldots$?

[Limit79]

Slip
... $=\ln|y|+C$

[Slip]

$\frac{dy}{y}=d(\ldots)$

[Limit79]

Slip
$\int \frac{dy}{\frac{y (\ln(y))^2}{2} + y \cdot C_{1}} =\int \frac{d(\ln(y))}{\frac{ (\ln(y))^2}{2} + C_{1}} =\int \frac{d(\ln(y))}{\left ( \frac{\ln(y)}{\sqrt{2}} \right )^2 + (\sqrt{C_{1}})^2} =\int \frac{1}{\sqrt{C_{1}}} \arctg \left ( \frac{\ln(y)}{\sqrt{C_{1}}}\right ) + C_{2}$

[Slip]

арифметику не проверял, но на глаз потерян $\sqrt2$ в ответе. ну и последний интеграл лишний. а так да, сосчитался-таки интеграл.

[Limit79]

Slip
А, ну это да, но с эти уже сам смогу разобраться. Спасибо большое за помощь!

ps. там задача Коши, так что последний интеграл по-компактнее будет.

[Someone]

Нужно отдельно рассмотреть случаи $C_1=0$, $C_1>0$, $C_1<0$.

Впрочем, если там задача Коши, то можно выбрать только тот случай, который нужен.