Ковариантную производная.

[MettPoiss]

Как посчитать ковариантную пр-ю функции по заданной римановой связности? А векторного поля.

[alcoholist]

по определению

[MettPoiss]

Дана функция $f(x,y) = yx^2+y^2$ и риман. связность $ds^2 = dx^2 + y^2dy^2$. Как я понял , ков. произ. функции - это произ. по направлению (градиент $f$), но я не могу понять какое это направление.

[Munin]

Производная по направлению и градиент - вещи разные. Даже в обычном евклидовом пространстве. Аналог градиента в римановой геометрии - ковариантная производная. Аналог производной по направлению - производная Ли.

Формула $ds^2=dx^2+y^2dy^2$ называется не связностью, а метрикой. Хотя связность из неё можно получить.

[MettPoiss]

Мне кажется, что ков. произв. этой функции будет $\left\{2xy,x^2 + 2y\right\}$ и не зависит от римановой связности, не так ли?

[Munin]

Munin в сообщении #650671 писал(а):

Производная по направлению и градиент - вещи разные. Даже в обычном евклидовом пространстве.

Если вы берёте функцию и заданное направление (вектор), то получаете производную по этому направлению. Это величина того же тензорного ранга, что и исходная функция.

Если вы возьмёте такие производные по всем направлениям, то получите некоторый функционал от вектора направления. Он линейный. Его можно назвать тоже производной - градиентом. За счёт дополнительного параметра - зависимости от вектора направления - он получает дополнительный тензорный индекс, то есть по сравнению с исходной функцией это тензор ранга на 1 больше (на один ковариантный индекс больше). В евклидовом пространстве это выглядит как тензорное умножение на вектор $\nabla.$

-- 27.11.2012 23:28:38 --

MettPoiss в сообщении #650685 писал(а):

Мне кажется, что ков. произв. этой функции будет $\left\{2xy,x^2 + 2y\right\}$ и не зависит от римановой связности, не так ли?

Да. А от векторной функции - уже будет зависеть.

[MettPoiss]

Если взять векторное поле $v = (x^2, y)$ с римановой метрикой $ds^2 = 2dx^2 + 3dy^2$, то символы Кристоффеля равны 0. А ков. произв. будет $\left\{ (2x,0),(0,1) \right\}$. Правильно? Да и вообще, что является результатом применения ков.произ. к векторному полю(вектор, матрица,функция)

[Munin]

Возьмите риманову метрику поинтересней. Например, вида $ds^2=(Ax+By+1)dx^2+(Cx+Dy+1)dy^2.$

Ковариантная производная от векторного поля - это тензорное поле ранга (1,1) (один раз ковариантное, один раз контравариантное). Можно написать его в заданной системе координат как "матрицу".