ТФКП Доказать, что уравнение имеет только действ корни

[ShiloFF]

Помогите пожалуйста с задачкой!
Нужно доказать, что уравнение $ztg(z) = 1$ имеет только действительные корни.

[ex-math]

Выпишите мнимую часть $\ctg(x+iy)$ и покажите, что она может быть равна $y$ лишь при $y=0$.

[ewert]

Вполне достаточно ограничиться синусом.

[ex-math]

Не думаю, что это проще. Без косинуса и умножений не обойтись все равно. А вещественные и мнимые части тангенса и котангенса вообще полезно знать.

[ewert]

$\sin x\,\ch y+i\cos x\sh y=0$, и поскольку обычные синус и косинус одновременно в ноль не обращаются -- решение возможно лишь при $\sh y=0$.

[ex-math]

Вы, наверно, рассуждаете в случае, когда справа нуль. А у ТС -- единица.

[ewert]

ex-math в сообщении #650362 писал(а):

Вы, наверно, рассуждаете в случае, когда справа нуль.

Да, об этом я чего-то забыл. Но всё равно -- с синусом/косинусом проще:

$\tg z=\dfrac{\sin z\cdot\cos\overline z}{|\cos z|^2}=\dfrac{\sin(z+\overline z)+\sin(z-\overline z)}{2|\cos z|^2}=\dfrac{\sin2x+i\sh2y}{2|\cos z|^2}\neq\dfrac{x-iy}{|z|^2}$.

[ShiloFF]

Товарищи, обьясните мне пожалуйста, почему у нас тангенс получается мнимым? Ведь нам нужны действительные корни???

[ewert]

ShiloFF в сообщении #650590 писал(а):

почему у нас тангенс получается мнимым?

Чего это чиста мнимый?... Он как раз чиста комплексный. Просто в уравнении $\tg z=\frac1z$ вдруг оказывается, что мнимые части слева и справа -- противоположных знаков (если только не сесть на вещественную ось).

[ShiloFF]

Ага, понял) Спасибо за помощь!