Задача номер 3.2.32.

[Omega]

Помогите пожалуйста с задачей номер 3.2.32 из сборника О.Я.Савченко.
Условие:
К муфте массы $m$, надетой на гладкую горизонтальную неподвижную спицу, привязана нить, перекинутая через блок, находящийся на расстоянии $L$ от спицы. На другом конце нити привязан груз массы $M$. При малом смещении муфты из положения равновесия она совершает колебательное движение. При колебаниях муфты изменением натяжения нити из-за колебаний груза можно пренебречь. Найдите частоту колебаний муфты и частоту вертикальных колебаний груза.



С чего начать?Необходимо записать полную энергию системы продифференцировать её по времени и получить уравнение гармонических колебаний,что у меня и не выходит.Понятно,что по условию задачи,нить - невесомый и нерастяжимый стержень.
А далее, прошу помощи.

[ewert]

Omega в сообщении #650383 писал(а):

С чего начать?

Со связи между перемещениями муфты и груза. Она формально довольно занудна, однако дело сильно упрощается малостью колебаний муфты. При этом можно считать, то нить не свободно налегает на блок, а скользит сквозь колечко, прижатое к блоку на уровне оси (правда, это приближение надо, строго говоря, обосновывать); тогда связь получается совсем простой.

[Omega]

Над этой связью я-таки сейчас и думаю...
Пусть муфту сдвинули влево на расстояние $\Delta x$, тогда новая длина нити $l=\sqrt{L^{2}+{\Delta x}^2}=L+ \Delta y$,где $\Delta y$ - расстояние,на которое поднимется вверх груз...
Что не так?

[ewert]

Всё так. Теперь учтите, что $\Delta x\ll L$ и раскладывайте левую часть по первому приближению.

[nikvic]

ewert в сообщении #650431 писал(а):

Всё так. Теперь учтите, что $\Delta x\ll L$ и раскладывайте левую часть по первому приближению.

В задаче есть иероглиф: При колебаниях муфты изменением натяжения нити из-за колебаний груза можно пренебречь. Он не обязателен (можно доказать), но служит подсказкой.

Поэтому быстрее через угол отклонения нити.

[ewert]

nikvic в сообщении #650519 писал(а):

В задаче есть иероглиф: При колебаниях муфты изменением натяжения нити из-за колебаний груза можно пренебречь.

Это не иероглиф: иероглифы обычно имеют хоть какой-то смысл, а в этом никакого смысла нет.

Можно предположить, что имелась в виду нерастяжимость нити. Но тогда та оговорка сформулирована безграмотно, да к тому же это и всегда предполагается по умолчанию.

Ещё можно предположить, что предполагалось пренебречь изменениями силы, действующей на груз; но и тут всё не слава богу. Во-первых, вновь нелепая формулировка, а во-вторых, это предложение излишне -- эти изменения и без того будут следующего порядка малости.

Фразочка "Найдите частоту колебаний муфты и частоту вертикальных колебаний груза" тоже как-то не радует: как будто у них могут быть разные частоты при одной-единственной степени свободы.

[nikvic]

ewert в сообщении #650546 писал(а):

nikvic в сообщении #650519 писал(а):

В задаче есть иероглиф: При колебаниях муфты изменением натяжения нити из-за колебаний груза можно пренебречь.

Это не иероглиф: иероглифы обычно имеют хоть какой-то смысл, а в этом никакого смысла нет.

Если довести геометрию до конца, то выяснится, что вертикальное перемещение груза - второго порядка по сравнению с перемещением муфты. Так что при линеаризации точного дифура оно пропадёт, а натяжение нити окажется равным весу груза. Вот это обстоятельство и предлагается использовать явно - без его доказательста.
Так что предлагается решать задачу, в которой муфта и нить есть, а самого груза нет - от него осталось только постоянное натяжение нити.

[Omega]

То есть что-то типа:
$m \ddot{x} + T \sin{\alpha}=0 = m \ddot{x} + \dfrac{M g}{l} x =0 \Rightarrow \omega = \sqrt{\dfrac{M g}{m l}}$
А тогда как мне найти эту частоту для груза? По идее, она должна быть той же самой,но в задачнике она равна $2 \omega$

[DenisKolesnikov]

Omega в сообщении #650823 писал(а):

По идее, она должна быть той же самой

Нет, не той же самой. Проверьте сколько колебаний совершает груз за то время, за которое муфта совершает одно колебание.