Найти кратчайшее расстояние от точки до поверхности

[pmlisky]

Здравствуйте.
Подскажите как рациональнее решить задачу о кратчайшем расстоянии:
найти кратчайшее расстояние от точки $A=(4,-4,4)$ до поверхности $z=2x^2-5y^2$
Я вижу следующий способ решения:
составляем функцию Лагранжа и исследуем её на минимум.

Есть ли другие варианты решения? Может быть есть готовая формула как для сферы?

[ИСН]

Мне это видится несколько расширительным толкованием термина "функция Лагранжа", но в общем неважно. Готовой нет, составляйте, исследуйте.

[pmlisky]

Поужинаю - решу - выложу.

[Алексей К.]

(Оффтоп)

Кажется, глагол "посплю" пропущен в этом списке.

[Yu_K]

pmlisky в сообщении #650171 писал(а):

Может быть есть готовая формула как для сферы?

Модуль разности расстояния от точки до центра сферы минус радиус сферы.

[pmlisky]

Пока спал придумал очень оригинальное и понятное решение! См. оффтоп

(Оффтоп)

Обозначим искомую точку на гиперболическом параболоиде как $N(X_N,Y_N,Z_N)$.
Тогда уравнение прямой между точками $A(4,-4,4)$ и $N(X_N,Y_N,Z_N)$
имеет вид
$\frac{X-4}{X_N-4}=\frac{Y+4}{Y_N+4}=\frac{Z-4}{Z_N-4}$
а уравнение касательной плоскости в точке $N$ к гиперболическому параболоиду соответственно
$Z-Z_N=4X_N(X-X_N)-10Y_N(Y-Y_N)$
или в канонической форме
$4X_NX-10Y_NY-Z+Z_N-4(X_N)^2+10(Y_N)^2=0$
из условия перпендикулярности прямой и плоскости, получаем
$\frac{X_N-4}{4X_N}=\frac{Y_N+4}{-10Y_N}=\frac{Z_N-4}{-1}$
ещё нам известно, что точка $N$ лежит на гиперболическом параболоиде, т. е.
$Z_N=2(X_N)^2-5(Y_N)^2$
тогда получается система с двумя неизвестными
$\frac{X_N-4}{4X_N}=\frac{Y_N+4}{-10Y_N}=4-2(X_N)^2+5(Y_N)^2$

Правильно?

Но только это же нереально решить

[ИСН]

Вы не поверите, но...

-- Вт, 2012-11-27, 16:54 --

...я пришёл к такому же выводу!

[pmlisky]

Кто такие задания придумывает что даже решить невозможно вручную