Свойства функции

[DLL]

Пусть задана упорядоченная последовательность положительных чисел
$\lambda _1 > \lambda _2 > ... > \lambda _m > \lambda _{m + 1} > ... > 0,$
при чем
$\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } \lambda _m = 0,$
и положительный сходящийся ряд
$\sum\limits_{m = 1}^\infty {A_m^2 } < \infty ,$
при чем все его члены ненулевые, т.е.
$A_m^2 > 0.$

Рассмотрим уравнение:

$$\mu \sum\limits_{m = 1}^\infty {\frac{1}{{\lambda _m - \lambda }}A_m^2 + 1 = 0}.$$

Перепишем его в следующем виде

$$\sum\limits_{m \ne k,k + 1}^\infty {\frac{1}{{\lambda _m - \lambda }}A_m^2 + \frac{1}{\mu } = \frac{{A_k^2 }}{{\lambda - \lambda _k }} + } \frac{{A_{k + 1}^2 }}{{\lambda - \lambda _{k + 1} }}.$$

При каждом фиксированном $\mu$, функция (по $\lambda$) в левой части равенства, монотонно возрастает в промежутке $(\lambda _{k + 1} ,\lambda _k )$, а функция стоящая в правой части равенства монотонно убывает в промежутке $(\lambda _{k + 1} ,\lambda _k )$ от $+\infty$ до $-\infty$. Поэтому существует единственное решение уравнения в промежутке $(\lambda _{k + 1} ,\lambda _k )$. Обозначим его через $\lambda _k \left( \mu \right)$.

Есть гипотеза, что при фиксированном $\mu$

$$\frac{1}{{\lambda _k \left( \mu \right)}} - \frac{1}{{\lambda _k }}\mathop \to \limits_{k \to \infty } 0.$$

Но доказать не получается.

[DLL]

Хорошо. Возможно, эта гипотеза тривиальным образом не разрешается.
Но можно ли выбрать ряд $A_n$ таким чтобы выполнялась моя гипотеза?

[mihiv]

Гипотеза не выполняется для $A_m^2=\frac 1{m^2},\lambda _m=\frac 1{m^2}.$

[DLL]

Не очевидно. Поясните, пожалуйста.

[mihiv]

Перепишем уравнение в виде

$$g(\lambda )=f(\lambda )\qquad (1)$$

где

$$g(\lambda )=\sum _{m=1}^{k-1}\dfrac {A_m^2}{\lambda _m-\lambda }+\frac 1{\mu },\qquad (2)$$

$$f(\lambda )=\dfrac {A_k^2}{\lambda -\lambda _k}+\sum _{m=k+1}^{\infty }\dfrac {A_m^2}{\lambda -\lambda _m}\qquad (3)$$

Функция $g(\lambda )$ монотонно возрастает, а функция $f(\lambda )$ монотонно убывает (от $+\infty $ до $-\infty $)в промежутке $(\lambda _{k+1},\lambda _k)$
Если мы в уравнении (1) заменим функцию $g(\lambda )$ на функцию $g_1(\lambda )$, а функцию $f(\lambda )$ на функцию $f_1(\lambda )$, такие, что $g_1(\lambda )<g(\lambda )$ и $g_1$ не убывает на $(\lambda _{k+1},\lambda _k)$, а $f_1(\lambda )>f(\lambda )$ и $f_1$ монотонно убывает от $+\infty $ до $-\infty $ на том же промежутке, то полученное уравнение

$$g_1(\lambda )=f_1(\lambda )\qquad (4)$$

будет иметь в промежутке $(\lambda _{k+1},\lambda _k)$ единственный корень $\bar \lambda _k$, причем будет выполнено неравенство

$$\bar \lambda _k>\lambda _k(\mu )\qquad (5)$$

, геометрически очевидное.
Выберем $g_1(\lambda )\equiv 0$, а $f_1(\lambda )=\dfrac {A_k^2}{\lambda -\lambda _k}+\dfrac {D_k}{\lambda _-\lambda _{k+1}}$, где $D_k=\sum _{m=k+1}^{\infty }\frac1{A_m^2}.$Функция $f_1$ получена заменой всех знаменателей в сумме формулы (3) на $\lambda -\lambda _{k+1}.$Очевидно $g_1$ и $f_1$ удовлетворяют поставленным условиям.Для нахождения $\bar \lambda _k$ получили уравнение

$$\dfrac {A_k^2}{\lambda _k-\lambda }=\dfrac {D_k}{\lambda -\lambda _{k+1}}\qquad (6)$$

Из уравнения (6)

$$\bar \lambda _k=\dfrac {D_k\lambda _k+A_k^2\lambda _{k+1}}{A_k^2+D_k}\qquad (7)$$

Выберем теперь $A_m^2=\frac 1{m^2},\lambda _m=\frac 1{m^2}$, тогда $D_k=\sum _{m=k+1}^{\infty }\frac 1{m^2}=\frac 1k+o(\frac 1k),\bar \lambda _k=\frac 1{k^2}\dfrac {D_k+\frac 1{(k+1)^2}}{D_k+\frac 1{k^2}},\lim _{k\to \infty }\dfrac 1{\bar \lambda _k}-\dfrac 1{\lambda _k}=2$, из (5) тогда следует, что и $\lim \limits_{k\to \infty }\frac 1{\lambda _k(\mu )}-\frac 1{\lambda _k}>0.$

[DLL]

Очень интересно. Спасибо за подробное изложение.

[DLL]

Доказательство понятно. Но вопрос такой. Как вот можно было прийти к такой оценке?
Вот допустим я хочу исследовать вопрос - стремится ли к нулю выражение $\frac{1}{\lambda_{k}(\mu)} - \frac{1}{\lambda_{k+1}}$?