Оценить сумму

[Ward]

Как доказать, что $\left|\sum \limits_{n\leqslant x}(-1)^{n+1}\ln n\right|\leqslant \ln x?$
дайте подсказку пожалуйста.

[ИСН]

В признаке Лейбница (хотя он сам сюда не годится абсолютно никаким боком) есть такая штука, как оценка остаточного члена. Знаете, какая?
Вот что-то вроде неё можно прикрутить и тут.

[Pphantom]

Сумма логарифмов легко сводится к логарифму произведения...

[Ward]

Pphantom
ну да. но как тут это использовать?

[Pphantom]

Ward в сообщении #650223 писал(а):

ну да. но как тут это использовать?

Перепишите левую часть как логарифм от некоторого произведения (точнее, дроби, в числителе и знаменателе которой произведения). Если сразу в общем виде сложно, попробуйте сделать это, например, для $x=8$ и $x=9$. Думаю, после этого все станет понятно.

[ewert]

Ward в сообщении #650223 писал(а):

Pphantom
ну да. но как тут это использовать?

Никак не надо, это ненужное трюкачество. Слушайтесь ИСН. Он намекал на монотонность логарифма, и только из монотонности всё и следует (например, по индукции).

[Ward]

ИСН
но причем тут оценка остаточного члена?

[TOTAL]

Ward в сообщении #650388 писал(а):

ИСН
но причем тут оценка остаточного члена?

Отложите оценку.
Запишите здесь уже без модуля доказываемое неравенство для случаев $n=2k$ и $n=2k+1$

[Pphantom]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #650296 писал(а):

Никак не надо, это ненужное трюкачество. Слушайтесь ИСН. Он намекал на монотонность логарифма, и только из монотонности всё и следует (например, по индукции).

Обычно считается полезным, чтобы решающий задачу понял, как это делается. Тот, для кого "из монотонности все и следует", не стал бы задавать такой вопрос.