Открытое множество

[pohius]

Открытое множество в метрическом пространстве задается легко, через окрестность точки, которую(окрестность) в свою очередь можно ввести через метрику.

Но я не понимаю как открытое множество вводится в топологии. По определению топологическое пространство состоит из открытых множеств. А открытое множество это то из чего состоит топологическое пространство. Замкнутый круг какой-то получается.

[Joker_vD]

pohius в сообщении #649156 писал(а):

Но я не понимаю как открытое множество вводится в топологии.

Волевым решением. Берем множество точек $A$, берем систему $\Omega$ каких-то там подмножеств этого множества $A$, и говорим: "Будем называть множества из $\Omega$ открытыми". Вот и все.

Конечно, брать надо не любую систему $\Omega$, а чтобы удовлетворяла трем свойствам:
1) $\varnothing,A\in\Omega$,
2) Объединение любого числа множеств из $\Omega$ должно давать множество из $\Omega$,
3) Пересечение любых двух множеств из $\Omega$ также должно принадлежать $\Omega$.

[pohius]

Ага, спасибо, вроде дошло )).

-- Вс ноя 25, 2012 02:05:53 --

То есть чтобы не городить матрешку, два определения в одном, можно ввести сначала определение топологии как систему множеств с определенными свойствами. А потом ввести определение открытого множества как множества из которых состоит топология. Во как.

[alcoholist]

pohius в сообщении #649156 писал(а):

По определению топологическое пространство состоит из открытых множеств

Пространство состоит из точек

Какие-то множества являются открытыми, какие-то нет

[pohius]

Ну перед тем как ввести точку, нужно ввести пространство, а оно вводится после топологии. То есть сейчас я все это представляю как:

$$ \xymatrix{ & \text{точка} \ar[dl]& \text{топ. пространство} \ar[l] & \\ \text{окрестность} & & & \text{топология} \ar[ul] \ar[dl] \\ & & \text{открытое множество} \ar[ull] & \\} $$

[pohius]

pohius в сообщении #649156 писал(а):

По определению топологическое пространство состоит из открытых множеств

Да это не верно. Не топологическое пространство а топология.

[Joker_vD]

pohius в сообщении #649247 писал(а):

Ну перед тем как ввести точку, нужно ввести пространство, а оно вводится после топологии.

Нет. Вот у вас есть пространство, вы вводите топологию и оно превращается в топологическое пространство.

[alcoholist]

Joker_vD в сообщении #649301 писал(а):

Вот у вас есть пространство

ну, не пространство, а множество)))

слово "пространство" подразумевает уже какую-то структуру

[pohius]

Таки соглашусь с alcoholist. Есть множество на которой введена топология, его назовем пространством и элементы множества точками.

[Joker_vD]

alcoholist
Аффинная вас устроит? А может, это у меня пространство элементарных событий (я, кстати, могу запросто ввести на нем топологию)?

[alcoholist]

Joker_vD в сообщении #650000 писал(а):

Аффинная вас устроит

да пожалуйста)

Joker_vD в сообщении #650000 писал(а):

пространство элементарных событий

потому пространство, что есть дополнительная структура -- мера