Обращение матрицы

[Nt.Mag1steR]

Уважаемые мастера, у меня проблема. Нужно в С написать программу, которая бы обращала матрицу, тоесть для заданной матрицы NхN, вычисляла обратную ей.

Может у кого то завалялся дома старый код или есть алгоритмические идеи, поделитесь пожалуйста.

И так же если у кого есть функция вычисления детерминанта(определителя матрицы), или алгоритм

[MMyaf]

Вычисление детерминанта матрицы А: с помощью элементарных преобразований приведем А к треугольному виду (на главной диагонали будут стоять какие-то числа, а ниже главной диагонали будут стоять нули), тогда определитель матрицы А будет равен произведению элементов стоящих на главной диагонали.
Что касается обратной матрицы, то зная как вычислить определитель матрицы, далее остается все это только написать.

[Nt.Mag1steR]

Какие именно элементарные преобразования и есть ли код на них?

[Vassil]

Тема Вашего задания в принципе - большое море.

Мне ввиду ряда обстоятельств и ситуаций больше всего нравиться следующая книга, которая думаю может Вам помочь, хотя и, как обычно бывает, она не содержит прямой ответ, чтобы просто списали бы.

Но если сможете ознакомиться, она, по моему, позволить Вам сделать работу. И еще откроет перед Вами поле для многих работ.

Дж. Форсайт, К.Молер Численное решение систем линейных алгебраических уравнений, Изд. "Мир", Москва 1969

В ней есть параграфы: Обращение матриц и Вычисление определителя (детерминанта).
Есть программы на АЛГОЛЕ (и на ФОРТРАНЕ и ПЛ1).

И многое другое.

[MMyaf]

Элементарными преобразованиями матрицы наз-ся преобразования:
1. Перестановка любых двух строк матрицы(при этом преобразовании определитель меняет знак на противоположный)
2. Прибавление s-той строки матрицы к t- той строки умноженной на число а.
Пример:
1 2
3 4
Умножим первую строку на -3 и прибавим ко второй. Получим:
1 2
0 -2
Произведение элементов, стоящих на гл. диагонали = -2. Это и есть определитель исходной матрицы.
Кода этих преобразований у меня нет.
Более подробно о методе приведения матрицы к треугольному виду можно прочитать , например, в книге А.И. Кострикин "Введение в алгебру".

[vasionok]

код алгоритма обращения матриц есть в LAPACK, называется dgetri (http://www.netlib.org/lapack/double/dgetri.f). Работает через разложение на треугольные множители. Там же есть более быстрые варианты для специальных матриц --- положительно определённых, неопределённых, треугольных.

Если нужно на С, то можно заглянуть в CLAPACK, но он менее читабельный --- это автоматический перевод с фортрана.

Если нужна работающая версия, можно взять реализацию LAPACK в Intel MKL, AMD ACML и иже с ними.

из литературы посоветую более современные J. Demmel, Applied Numerical Linear Algebra как учебник и Golub, Van Loan, Matrix Computations как настольную книгу по предмету.

[abc_qmost]

vasionok писал(а):

код алгоритма обращения матриц есть в LAPACK, называется dgetri (http://www.netlib.org/lapack/double/dgetri.f). Работает через разложение на треугольные множители. Там же есть более быстрые варианты для специальных матриц --- положительно определённых, неопределённых, треугольных...

Все здесь указанные и не только (например, сингулярный анализ) алгоритмы для увеличения скорости вычислений (почти на порядок) используют блочные методы обработки м-ц, что требует привлечения качественного алгоритма перемножения матриц. Теперь разрыв в скоростях работы моего алгоритма перемножения матриц и dgemm Intel MKL достигает более 40% (для IA32). См. мою страницу, посвященную Core 2 Duo для IA32 (второй пункт).

[Ghosty]

Можно попробовать метод Левеье-Фаддеева.Лично я решал эту задачу так.

[abc_qmost]

Ghosty писал(а):

Можно попробовать метод Левеье-Фаддеева.Лично я решал эту задачу так.

Леверье-Фаддеева

[ET]

Nt.Mag1steR писал(а):

Уважаемые мастера, у меня проблема. Нужно в С написать программу, которая бы обращала матрицу, тоесть для заданной матрицы NхN, вычисляла обратную ей.

Может у кого то завалялся дома старый код или есть алгоритмические идеи, поделитесь пожалуйста.

И так же если у кого есть функция вычисления детерминанта(определителя матрицы), или алгоритм

Бррр.. Всегда такую задачу решал так:
справа к исходной матрице дописывал единичную (получал матрицу n на 2n). Преобразованиями (перестановка cтрок, умножение строки на константу, прибавление к строке другой строки умноженной на константу) приводил левую часть к единичной. После чего то, что получалось в правой части (в той, которая изначально была единичной) - обратная

[Зангези]

ET писал(а):

Бррр.. Всегда такую задачу решал так:
справа к исходной матрице дописывал единичную (получал матрицу n на 2n). Преобразованиями (перестановка cтрок, умножение строки на константу, прибавление к строке другой строки умноженной на константу) приводил левую часть к единичной. После чего то, что получалось в правой части (в той, которая изначально была единичной) - обратная

Автору темы: это называется прямой ход метода Гаусса, если будете в Интернете материал искать.