Расширение Галуа

[xmaister]

Пусть $\overline{\mathbb{Q}}$- какое-то алгебраическое замыкание $\mathbb{Q}$. Является ли $\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}$- расширением Галуа? Если так, то какая там будет группа Галуа?

[fancier]

xmaister в сообщении #649286 писал(а):

Пусть $\overline{\mathbb{Q}}$- какое-то алгебраическое замыкание $\mathbb{Q}$. Является ли $\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}$- расширением Галуа? Если так, то какая там будет группа Галуа?

Да, потому что $\mathbb{Q}$ -- совершенное поле (поскольку характеристики 0).

Про группу Галуа спросите что-нибудь попроще (см. программу Ленглендса).

Например, всякое абелево расширение $\mathbb{Q}$ содержится в циклотомическом поле (теорема Кронекера-Вебера), откуда его группа Галуа есть обратный предел групп Галуа циклотомических расширений и изоморфна $\prod_p\mathbb{Z}_p^\times$. См. Теорию полей классов. Она есть в точности абелианизация "полной" группы Галуа $Gal(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}).$

[xmaister]

fancier
Автоморфизм, который очевидно принадлежит $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$- это комплексное сопряжение. Какие ещё там могут быть? Интернеты сообщают, что эта группа важна в теории чисел. Поясните пожалуйста, чем именно.

[fancier]

xmaister в сообщении #649339 писал(а):

fancier
Автоморфизм, который очевидно принадлежит $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$- это комплексное сопряжение. Какие ещё там могут быть? Интернеты сообщают, что эта группа важна в теории чисел. Поясните пожалуйста, чем именно.

К сожалению, я не специалист в этой области, поэтому квалифицированно ответить не могу. Насколько я понимаю, многие интересные инварианты поля получаются как когомологии модулей с действием группы Галуа (например группа Брауэра, состоящая из классов эквивалентности центральных простых алгебр над данным полем). Кстати, с точки зрения этальной топологии, "абсолютная" группа Галуа -- то же, что фундаментальная группа. Кроме того, теория полей классов устанавливает связь абсолютной группы Галуа с арифметикой поля, с законами взаимности, с разложением простых идеалов в расширениях и т.п.

Могу порекомендовать книги, где об этом можно почитать: "Алгебраическая теория чисел" п/ред Касселса и Фрелиха, Москва, Мир, 1969; Манин, Панчишкин "Введение в современную теорию чисел", МЦНМО, 2009.

[apriv]

xmaister в сообщении #649339 писал(а):

fancier
Автоморфизм, который очевидно принадлежит $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$- это комплексное сопряжение. Какие ещё там могут быть? Интернеты сообщают, что эта группа важна в теории чисел. Поясните пожалуйста, чем именно.

Ну да, это самый важный объект в математике вообще. Указать там конкретный элемент (кроме тождественного и комплексного сопряжения) трудно: видимо, для этого необходима аксиома выбора. Хотя вообще слова «указать конкретный элемент» можно понимать по-разному: например, группа Галуа локального поля вроде бы конечно представима, поэтому ее образующие можно воспринимать как конкретные элементы группы Галуа $\mathbb Q$. А на практике группу Галуа $\mathbb Q$ изучают с помощью представлений Галуа; например, она действует на детских рисунках Гротендика, и это чрезвычайно полезное знание.

[fancier]

apriv в сообщении #649473 писал(а):

А на практике группу Галуа $\mathbb Q$ изучают с помощью представлений Галуа; например, она действует на детских рисунках Гротендика, и это чрезвычайно полезное знание.

(Оффтоп)

Не устаю удивляться гениальности Гротендика: уже в детстве он рисовал не простые рисунки, а те, на которых действует группа Галуа!

[xmaister]

А порядок $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ можно как-нибудь вычислить?

[apriv]

xmaister в сообщении #649778 писал(а):

А порядок $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ можно как-нибудь вычислить?

Эта группа несчетна.

[xmaister]

apriv в сообщении #649820 писал(а):

Эта группа несчетна.

Как? Тогда же $\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}$ не расширение Галуа?

[apriv]

xmaister в сообщении #649824 писал(а):

apriv в сообщении #649820 писал(а):

Эта группа несчетна.

Как? Тогда же $\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}$ не расширение Галуа?

Очень даже расширение Галуа, только не конечное. Группа Галуа в этом случае снабжена топологией и является проконечной группой.

[Joker_vD]

Кстати, вот $Gal(\overline{\mathbb Z_p}/\mathbb Z_p) = \widehat{\mathbb Z}$, проконечному пополнению $\mathbb Z$. А про $Gal(\overline{\mathbb Q}/\mathbb Q)$ что-нибудь подобное можно сказать?

(Оффтоп)

До сих пор помню, как пытался доказать изоморфизм $\mathbb Z\simeq\widehat{\mathbb Z}$