VI Киевский математический фестиваль, Конча Заспа 2007

[dm]

Шестой международный Киевский математический фестиваль
5-8.05.2007

Устная математическая олимпиада. 10 класс
5.05.2007, Киев, лицей №171 "Лидер"

Довывод

1. В клетчатом квадрате $2007\times 2007$ отмечены центры всех
единичных квадратиков. Какое наименьшее число прямых, не параллельных
сторонам квадрата, нужно провести, чтобы вычеркнуть все отмеченные точки?

2. На бумаге в клеточку нарисован выпуклый многоугольник так, что
все его вершины находятся в вершинах клеток и ни одна из его сторон не идет
по вертикали или горизонтали. Докажите, что сумма длин вертикальных отрезков
линий сетки, заключенных внутри многоугольника, равна сумме длин
горизонтальных отрезков линий сетки внутри многоугольника.

3. Последовательность натуральных чисел $\left( {a_n } \right)$
удовлетворяет условию $a_{n+1} =a_n^3 +2007.$ Докажите, что она содержит не
более одного точного квадрата.

4. Для положительных чисел $x$, $y$, $z$ докажите неравенство:

$$ \left( {1+\frac{x}{y}} \right)\left( {1+\frac{y}{z}} \right)\left( {1+\frac{z}{x}} \right)\geqslant 2+\frac{2(x+y+z)}{\sqrt[3]{xyz}}. $$

5. Окружности $\omega _1 $ и $\omega _2 $ с центрами в точках $A$ и
$B$ соответственно касаются внешним образом в точке $X$.
Окружность $\omega_3 $ с центром в точке $C$ внутренним образом касается окружностей $\omega_1 $ и $\omega _2 $ в точках $Y$ и $Z$ соответственно. Общая касательная к
окружностям $\omega _1 $ и $\omega _2 $ в точке $X$ образует хорду
окружности $\omega _3 $ с серединой в точке $M.$ Докажите, что $\angle YMZ=\angle ACB.$

Вывод

6. Найдите все функции $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$, удовлетворяющие условиям:
(1) если $x<y$, то $f(x)<f(y)$;
(2) $f\left( {yf(x)} \right)=x^2f(xy)$.

7. $ABCD$ --- доска размером $n\times n$ клеток. Назовем
диагональный ряд клеток положительной диагональю, если он параллелен $AC$.
Какое наименьшее количество монет нужно разместить на клетках доски так,
чтобы каждая клетка доски либо сама содержала монету, либо находилась на
одной вертикали, горизонтали или положительной диагонали хотя бы с одной
клеткой, содержащей монету?


Письменная математическая олимпиада
6.05.2007, Киев, лицей №171 "Лидер"
апелляция - 7.05.2007, Конча Заспа, лагерь "Каштан"

8-й класс

1. Можно ли разрезать доску
размером $2007\times2007$ на изображенные фигурки, если нужно
использовать хотя бы по одной фигурке каждого
вида? \parbox{2.8cm}{$\begin{picture}(45,25) \put(5,5){\put(0,0){\line(1,0){16}}\put(0,8){\line(1,0){24}} \put(0,16){\line(1,0){24}}\put(8,24){\line(1,0){16}} \put(0,0){\line(0,1){16}}\put(8,0){\line(0,1){24}} \put(16,0){\line(0,1){24}}\put(24,8){\line(0,1){16}}} \put(35,5){\put(0,0){\line(1,0){8}}\put(0,8){\line(1,0){8}} \put(0,16){\line(1,0){8}}\put(0,24){\line(1,0){8}} \put(0,0){\line(0,1){24}} \put(8,0){\line(0,1){24}}} \end{picture}$}

2. Найти все пары натуральных чисел $(a,b)$
такие, что $\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}=\sqrt{ab-1}.$

3. Вершины 100-угольника покрашены
последовательно в белый и черный цвета. В одной из белых вершин
стоит фишка. Двое игроков по очереди выполняют две операции:
передвигают фишку в другую вершину по стороне 100-угольника и затем
вытирают какую-нибудь сторону. Игра заканчивается, когда нельзя
передвинуть фишку. Если в конце игры фишка стоит в белой вершине, то
выигрывает первый игрок, а если в черной, то второй. Имеет ли
кто-нибудь из игроков выигрышную стратегию? Если имеет, то кто?

4. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отметили
точку $D$. Построить на сторонах $BC$, $AC$ точки $E$, $F$ соответственно
так, чтобы середины $DE$ и $DF$ лежали на одной прямой с $B$, а
середины $DE$ и $EF$ лежали на одной прямой с $C$.

5. Есть набор камней весом $1, 2, \ldots, 20$ г.
Найти все $k$, при которых можно положить $k$ и остальные $20-k$
камней из набора соответственно на две чашки весов так, чтобы
получить равновесие.

9-й класс

1. Найти все пары натуральных чисел $(a,b)$
такие, что $\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}=\sqrt{ab-1}$.

2. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отметили
точку $D$. Построить на сторонах $BC$, $AC$ точки $E$, $F$ соответственно
так, чтобы середины $DE$ и $DF$ лежали на одной прямой с $B$, а
середины $DE$ и $EF$ лежали на одной прямой с $C$.

3. Есть набор камней весом $1, 2, \ldots, 51$ г.
Найти все $k$, при которых можно положить $k$ и остальные $51-k$
камней из набора соответственно на две чашки весов так, чтобы
получить равновесие.

4. Вершины 100-угольника покрашены
последовательно в белый и черный цвета. В одной из черных вершин
стоит фишка. Двое игроков по очереди выполняют две операции:
передвигают фишку в другую вершину по стороне 100-угольника и затем
вытирают какую-нибудь сторону. Игра заканчивается, когда нельзя
передвинуть фишку. Если в конце игры фишка стоит в белой вершине, то
выигрывает первый игрок, а если в черной, то второй. Имеет ли
кто-нибудь из игроков выигрышную стратегию? Если имеет, то кто?

5. Пусть $a,b,c>0$ и $abc\ge1$. Доказать, что
${\left(a+\frac{1}{a+1}\right)\left(b+\frac{1}{b+1}\right) \left(c+\frac{1}{c+1}\right)\ge\frac{27}{8}.}$

10-й класс

1. Найти все пары натуральных чисел $(a,b)$
такие, что $\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}=\sqrt{ab-1}$.

2. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отметили
точку $D$. Построить на сторонах $BC$, $AC$ точки $E$, $F$ соответственно
так, чтобы середины $DE$ и $DF$ лежали на одной прямой с $B$, а
середины $DE$ и $EF$ лежали на одной прямой с $C$.

3. Есть набор камней весом $1, 2, \ldots, 51$ г.
Найти все $k$, при которых можно положить $k$ и остальные $51-k$
камней из набора соответственно на две чашки весов так, чтобы
получить равновесие.

4. Пусть $a,b,c>0$ и $abc\ge1$. Доказать, что
$27(a^3+a^2+a+1)(b^3+b^2+b+1)(c^3+c^2+c+1)$
$\ge64(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1).$

5. Вершины 100-угольника покрашены
последовательно в белый и черный цвета. В одной из вершин стоит
фишка. Двое игроков по очереди выполняют две операции: передвигают
фишку в другую вершину по стороне 100-угольника и затем вытирают
какую-нибудь сторону. Игра заканчивается, когда нельзя передвинуть
фишку. Если в конце игры фишка стоит в белой вершине, то выигрывает
первый игрок, а если в черной, то второй. Имеет ли кто-нибудь из
игроков выигрышную стратегию? Если имеет, то кто?

[dm]

Математический экспресс
(командное соревнование, туры по 25 минут)
8.05.2007, Конча Заспа, лагерь "Каштан"

I тур

1.1. Действительные числа $x$, $y$, $z$ удовлетворяют уравнению $x^n+y^n=z^n$ ($n\in\mathbb{N}$; $z\ne0$).
Докажите, что $\left(\dfrac{xy}{z^2}\right)^n\le\dfrac{1}{4}$.

1.2. Рассматриваются всевозможные семизначные числа с цифрами $1,2,\ldots,7$, каждое из которых содержит все семь указанных цифр. Докажите, что ни одно из этих чисел не является делителем никакого другого из них.

1.3. Вокруг остроугольного треугольника $ABC$ описали окружность. Касательные к окружности, проведенные в точках $A$ и $C$, пересекают касательную, проведенную в точке $B$, соответственно в точках $M$ и $N$. В треугольнике $ABC$ провели высоту $BP$. Докажите, что прямая $BP$ является биссектрисой угла $MPN$.

1.4. Сколько точных квадратов содержится среди чисел:
а) $2^k+4^k$; $k\in\mathbb{N}$;
б) $2^k+4^m$; $k,m\in\mathbb{N}$.

II тур

2.1. Найдите наибольшее значение параметра $a$, при котором неравенство

$$x^2+y^2+z^2\ge a(x+y+z)^2$$

выполняется при всех действительных значениях $x$, $y$ и $z$.

2.2. Решите уравнение $\sqrt[4]{1-x^2}+\sqrt[4]{x^2+x-1}+\sqrt[4]{1-x}=1$.

2.3. В треугольнике $ABC$ длина медианы $BM$ равна длине стороны $AC$. На продолжениях сторон $BA$ и $AC$ выбраны точки $D$ и $E$ соответственно так, что выполняются равенства $AD=AB$ и $CE=CM$. Докажите, что прямые $DM$ и $BE$ перпендикулярны.

2.4. Докажите, что ни один член последовательности

$$a_n=\left[\sqrt{n(n+2)(n+4)(n+6)}\right],\qquad n\in\mathbb{N},$$

не делится нацело на 7 (здесь $[x]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x$).

III тур

3.1. Докажите, что в любом многоугольнике есть по крайней мере две стороны $a$ и $b$ такие, что $1\le\dfrac{b}{a}<2$.

3.2. На квадратный лист бумаги со стороной $a$ посадили несколько клякс, площадь каждой из которых не больше 1. Докажите, что если каждая прямая, параллельная сторонам листа, пересекает не более одной кляксы, то суммарная площадь клякс не больше $a$.

3.3. Можно ли, используя каждую из 10 цифр ровно один раз, записать некоторое натуральное число и его квадрат?

3.4. Найдите все тройки целых чисел $a$, $b$ и $c$, удовлетворяющих неравенству

$$a^2+b^2+c^2+3<ab+3b+2c.$$

[juna]

dm писал(а):

10-й класс

1. Найти все пары натуральных чисел $(a,b)$
такие, что $\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}=\sqrt{ab-1}$.

4. Пусть $a,b,c>0$ и $abc\ge1$. Доказать, что
$27(a^3+a^2+a+1)(b^3+b^2+b+1)(c^3+c^2+c+1)$
$\ge64(a^2+a+1)(b^2+b+1)(c^2+c+1).$

5. Вершины 100-угольника покрашены
последовательно в белый и черный цвета. В одной из вершин стоит
фишка. Двое игроков по очереди выполняют две операции: передвигают
фишку в другую вершину по стороне 100-угольника и затем вытирают
какую-нибудь сторону. Игра заканчивается, когда нельзя передвинуть
фишку. Если в конце игры фишка стоит в белой вершине, то выигрывает
первый игрок, а если в черной, то второй. Имеет ли кто-нибудь из
игроков выигрышную стратегию? Если имеет, то кто?

Порешаю школьные.
1) Легко приводится к $2\sqrt{(a-1)(b-1)}=(a-1)(b-1)$ или $4=(a-1)(b-1)$, это дает $b=5,a=2$; $b=3, a=3$; $b=2, a=5$.
4) Легко приводится к $\frac{a^4-1}{a^3-1}\cdot\frac{b^4-1}{b^3-1}\cdot\frac{c^4-1}{c^3-1}\ge\left({\frac{4}{3}}\right)^3$. Ясно, что $\forall k \in \mathbb{N},k\not =1:\frac{k^4-1}{k^3-1}>\frac{4}{3}$.
5) Ясно, что игра всегда заканчивается выигрышем одного из игроков, т.е. она не равновесная, и выигрышная стратегия существует. Однако она зависит от начального положения фишки. Поскольку количество ребер четно, то второй всегда заканчивает игру (если конечно первый нерадивыми действиями не закончит ее раньше). Если в начальном положении фишка на белом, то второй всегда перемещается на белое (включая последний ход с вычеркиванием последнего ребра), т.е. выигрышная стратегия есть у первого. Если фишка на черном, то второй заканчивает на черном, и выиграшная стратегия есть у него.

Добавлено
Математический экспресс
(командное соревнование, туры по 25 минут)
8.05.2007, Конча Заспа, лагерь "Каштан"

I тур
1.1
$(x^n+y^n)^2=x^{2n}+y^{2n}+2\cdot x^ny^n$
$z^{2n}=x^{2n}+y^{2n}+2x^ny^n$
$\frac{2}{4}-\frac{2}{4}\cdot(\left(\frac{x}{z}\right)^{2n}+\left(\frac{y}{z}\right)^{2n})=\left(\frac{xy}{z^2}\right)^n$
$(\frac{x}{z})^n+(\frac{y}{z})^n=1 \Rightarrow \frac{1}{2}<(\frac{x}{z})^{2n}+(\frac{y}{z})^{2n}<1$ ($\frac{z}{2}>\sqrt{xy}$ - соотношение между средними)
1.4. п.1
$2^k+4^k=c^2$
$2^k(1+2^k)=c^2 \Rightarrow k=2l, 1+2^{2l}=y^2\Rightarrow 2^{2l}=(y-1)(y+1)$ - невозможно
п.2 аналогично невозможен.
1.3.
Пусть $a_1=a_2\cdot k$, где $a_1,a_2$ - числа из цифр 1,2,...7. Ясно, что $a_i\equiv 1 \mod 9, i=1..7!$. Число $k$ из-за ограничений на число разрядов может быть только 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, оно же должно быть сравнимо с единицей по модулю 9, что невозможно

[neo66]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

4) Ясно, что $\forall k \in \mathbb{N},k\not =1:\frac{k^4-1}{k^3-1}>\frac{4}{3}$.

А откуда Вы взяли, что $a,b,c \in \mathbb {N}$? Вообще говоря это неравенство неверно для $ 0\le k<1$. К тому же нигде не использовалось условие $abc\ge 1$. Задачи, конечно, школьные, но не до полного же идиотизма .

[JS]

Артамонов Ю.Н.
А в первой задаче забыли случай если a=1 или b=1

[neo66]

dm писал(а):

1.4. Сколько точных квадратов содержится среди чисел:
а) $2^k+4^k$; $k\in\mathbb{N}$;
б) $2^k+4^m$; $k,m\in\mathbb{N}$.

В случае а), как уже было показано, ответ - 0.

В случае б) точных квадратов бесконечно много, например, $\forall m\in\mathbb {N}$ ${2^{2m+3}+4^m={(3*2^{m}})^2$

Добавлено спустя 37 минут 58 секунд:

dm писал(а):

2.1. Найдите наибольшее значение параметра $a$, при котором неравенство

$$x^2+y^2+z^2\ge a(x+y+z)^2$$

выполняется при всех действительных значениях $x$, $y$ и $z$.

$a=\frac{1}{3}$, поскольку $3x^2+3y^2+3z^2 - (x+y+z)^2 = (x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2\ge 0$, причем равенство достигается при $x=y=z$. Отсюда же видно, что при $a>\frac{1}{3}$ неравенство не выполняется, например, для $x=y=z=1$.

[neo66]

dm писал(а):

3.2. На квадратный лист бумаги со стороной $a$ посадили несколько клякс, площадь каждой из которых не больше 1. Докажите, что если каждая прямая, параллельная сторонам листа, пересекает не более одной кляксы, то суммарная площадь клякс не больше $a$ .

Пусть $S_i$ площадь $i$-ой кляксы, $a_i, b_i$ - ее проекции на стороны квадрата. Тогда
$\sum a_i \leq a,$ $\sum b_i \leq a,$
$S_i \leq a_i{b_i }\leq 1$.
Далее имеем $S_i \leq a_i b_i \leq\sqrt{a_i b_i}\leq\frac{a_i+b_i}{2}$. Складывая все эти неравенства получим $\sum S_i\leq \frac{\sum a_i + \sum b_i}{2} \leq a$.

[juna]

Спасибо за исправления, я был небрежен.

dm писал(а):

3.3. Можно ли, используя каждую из 10 цифр ровно один раз, записать некоторое натуральное число и его квадрат?

Пусть мы составляем число $n$ из некоторых цифр множества $ \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, используя каждую ровно один раз, а из оставшихся квадрат этого числа $n^2$. Количество разрядов у числа $n$ - это $\lfloor \frac{\ln n}{\ln 10}\rfloor+1$, для $n^2$ - $\lfloor \frac{2\cdot\ln n}{\ln 10}\rfloor+1$. Тогда по условию $\lfloor \frac{\ln n}{\ln 10}\rfloor+\lfloor \frac{2\cdot\ln n}{\ln 10}\rfloor=8$. Возможны два случая (в зависимости от дробной части числа $\frac{\ln n}{\ln 10}$:
$\lfloor \frac{\ln n}{\ln 10}\rfloor+2 \cdot\lfloor \frac{\ln n}{\ln 10}\rfloor=8\Rightarrow 3\cdot \lfloor \frac{\ln n}{\ln 10}\rfloor=8$ - невозможно,
$\lfloor \frac{\ln n}{\ln 10}\rfloor+2 \cdot\lfloor \frac{\ln n}{\ln 10}\rfloor+1=8\Rightarrow 3\cdot \lfloor \frac{\ln n}{\ln 10}\rfloor=7$ - невозможно.

[neo66]

dm писал(а):

3.1. Докажите, что в любом многоугольнике есть по крайней мере две стороны $a$ и $b$ такие, что $1\le\dfrac{b}{a}<2$.

Предположим, что это неверно. Упорядочим стороны $a_1\leq a_2\dots\leq a_n$. Тогда $a_2\geq 2a_1, a_3\geq 2a_2, \dots, a_n\geq 2a_{n-1}$. Сложим эти неравенства и получим $a_n-a_1\geq a_1+\dots a_{n-1}$, что противоречит неравенству треугольника.

[dewgong]

Устная математическая олимпиада. 10 класс
5.05.2007, Киев, лицей №171 "Лидер"

Довывод

4. (APMO 1998)
$a:=\frac{x}{\sqrt[3]{xyz} } , b:=\frac{y}{\sqrt[3]{xyz} } , \;c:=\frac{z}{\sqrt[3]{xyz} } \Rightarrow \; abc=1$

Надо доказать

$$ (1+a)(1+b)(1+c) \geq 2(1+a+b+c) $$

.
Расскрыв скобки и прибавив единицу, получаем следующие неравенства используя AM-GM и abc=1:
$(1+a^2b+a^2c)+(1+b^2a+b^2c)+(1+c^2a+c^2b) \geq 3(a+b+c) \geq 3+2(a+b+c)$ q.e.d.

Кстати, что значит устный тур олимпиады? Задачи вродебы неустные
p.s.: на рынках Ташкента появилась петрушка, вся ранния была увезена в Москву

[dm]

dewgong писал(а):

Кстати, что значит устный тур олимпиады? Задачи вродебы неустные

http://www.google.com/search?q=%d0%a3%d ... 0%b4%d0%b0

[neo66]

dm писал(а):

2.2. Решите уравнение $\sqrt[4]{1-x^2}+\sqrt[4]{x^2+x-1}+\sqrt[4]{1-x}=1$.

Тривиально, если заметить, что $(1-x^2)+(x^2+x-1)+(1-x)=1$.
Единственное решение $x=1$.

[juna]

dm писал(а):

2.4. Докажите, что ни один член последовательности

$$a_n=\left[\sqrt{n(n+2)(n+4)(n+6)}\right],\qquad n\in\mathbb{N},$$

не делится нацело на 7 (здесь $[x]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x$).

Ясно, что $a_n$ является некоторым многочленом второй степени, а именно:
$a_n=\left[\sqrt{n(n+2)(n+4)(n+6)}\right]=n^2+6n+3$
Для множества остатков от деления на 7 $\{0,1,2,3,4,5,6\}$ для указанного многочлена имеем соответственно следующие вычеты: $\{3,3,5,2,1,2,5\}$

[V.V.]

neo66 писал(а):

dm писал(а):

2.2. Решите уравнение $\sqrt[4]{1-x^2}+\sqrt[4]{x^2+x-1}+\sqrt[4]{1-x}=1$.

Тривиально, если заметить, что $(1-x^2)+(x^2+x-1)+(1-x)=1$.
Единственное решение $x=1$.

Эту задачу не решила ни одна команда на фестивале.

[dm]

V.V. писал(а):

Эту задачу не решила ни одна команда на фестивале.

Это было сюрпризом для жюри.