Непрерывность оператора

[AntonyGreen]

$X$, $Y$ - Банаховы пространства
$ T : X \mapsto Y$ - линейный оператор
Для любой последовательности $x_n$: $x_n \mapsto x$, $Tx_n \mapsto y$
a) $\|y\| \le \|Tx\|$
б) $\|y\| \ge \|Tx\|$

Правда ли, что $T$ - непрерывен?

Сказали, что тут далеко не просто решается, и нужно основательно подумать. Пока, я в самом деле не знаю через что это доказывается. Помогите, пожалуйста.

[ewert]

Это вопрос о замкнутости оператора. Из пункта б), естественно, ничего не следует. А из пункта а) следует замкнутость оператора и тогда, по теореме о замкнутом графике, его непрерывность. Но сама по себе теорема о замкнутом графике далеко не тривиальна.

[RIP]

topic29978.html

[AntonyGreen]

ewert в сообщении #649211 писал(а):

Из пункта б), естественно, ничего не следует.

Вот судя по обсуждению в topic29978.html как раз он равносилен замкнутости