Связность

[clop12]

Помогите разобраться в дифференциальной геометрии!!!

Допустим у меня есть метрика $g=dx^2+2\cos \omega dxdy + dy^2$, где $\omega (x,y)$ - некоторая функция.

Как определить матрицу связности для этой метрики в координатах $(x,y)$ и как искать символы Кристоффеля?

Я нашел много книжек с теорией, но чтобы на каком-нибудь конкретном примере это объяснили - нигде нет(
Очень нужна ваша помощь.
Спасибо!

[lek]

Символы Кристоффеля первого рода $\Gamma_{i,kj}$ ищутся по формуле

$$ \Gamma_{i,kj}=\frac12\left(\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^{j}}+\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^{k}}-\frac{\partial g_{kj}}{\partial x^{i}}\right) $$

Символы Кристоффеля второго рода получаются поднятием индекса

$$ \Gamma^{l}_{kj}=g^{il}\Gamma_{i,kj} $$

Посчитайте вручную, а затем проверьте с помощью Maple. В вашем случае программа будет иметь вид:

> restart;with(tensor):
> coords:=[x,y]:
> g:=array(symmetric,sparse,1..2,1..2):
> 
> g[1,1]:=1;
> g[1,2]:=omega(x,y);
> g[2,2]:=1;
> 
> metric:=create([-1,-1],eval(g)):
> type(metric,tensor_type):
> 
> tensorsGR(coords,metric,con_metric,det_met,C1,C2,Rm,Rc,R,G,C):
> 
> displayGR(Christoffel1,C1):
> displayGR(Christoffel2,C2):

Меняя метрику можно потренироваться, находя символы Кристоффеля, тензор Римана, тензор и скаляр Риччи и т.д.

[fancier]

В Вашем случае матрица первой квадратичной формы (=римановой метрики) есть

$$(g_{ij})=\begin{pmatrix} 1 & \cos \omega \\ \cos \omega & 1 \\ \end{pmatrix}$$

(при этом $\cos \omega \neq \pm 1$). Символы Кристоффеля вычисляются по формулам $\Gamma_{ij}^k=\frac{1}{2}g^{kl}(\frac{\partial g_{il}}{\partial x^j}+\frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l})$ (суммирование по повторяющимся индексам), где $g^{ij}$ -- элементы обратной для $(g_{ij})$ матрицы, $x^1=x,\, x^2=y.$

[alcoholist]

clop12 в сообщении #648950 писал(а):

Как определить матрицу связности

что такое "матрица связности"???