Двумерная случайная величина.

[SHKVal]

Двумерная случайная величина $(\xi, \eta)$ распределена равномерно внутри квадрата $[0;1]\times [0;1]$. Найти выражение плотности вероятностей $f(x,y)$ и функцию распределения $F(x,y)$.

Насколько я знаю, т.к. величина распределена равномерна, то на $D=[0;1]\times [0;1]$ её плотность вероятности равна 1, т.е.

$$ f(x,y)=\begin{cases} \frac{1}{S_D},&\text{если $(x,y)\in D$;}\\ 0,&\text{если $(x,y)\notin D$;} \end{cases} $$

А вот с функцией распределения у меня проблемы. Подскажите пожалуйста как найти.

[PAV]

Давайте возьмем какую-то конкретную точку и найдем значение ф.р. в ней. Например, $F(0.5,0.5)$. Функция распределения - это вероятность некоторого события. Какого именно в данном случае?

[SHKVal]

Насколько я помню, это вероятность того, что $\xi<0.5$ и $\eta<0.5$.

[alcoholist]

ну и интегрируйте плотность

[SHKVal]

$\int\limits_{-\infty}^x\int\limits_{-\infty}^y f(x,y)d\xi d\eta$ ?

[alcoholist]

yes

с точностью до опечаток

[PAV]

Интегрирование плотности - это правильный, но наиболее общий метод. В данном случае вероятности событий, связанных со случайными величинами, находятся проще, почитайте про "геометрическое распределение". Здесь именно оно и есть.

[SHKVal]

Но геометрическое - это же дискретное распределение, а мои величины непрерывные.

[fancier]

А для одномерной случайной величины, распределенной равномерно на отрезке $[0,\, 1]$ можете выписать функцию распределения (и объяснить как она получается из плотности)?

[SHKVal]

$F(x)=P(0\leqslant\xi\leqslant 1)=\int\limits_0^1 f(x)dx=1$

Так? Хотя похоже что нет.

[fancier]

SHKVal в сообщении #648886 писал(а):

$F(x)=P(0\leqslant\xi\leqslant 1)=\int\limits_0^1 f(x)dx=1$

Так? Хотя похоже что нет.

А что, $F(x)$ от $x$ не зависит?

[SHKVal]

Вот я этого и не могу понять. Интеграл же у нас получается по отрезку, значит будет просто площадь под графиком, а площадь это константа.

-- Сб ноя 24, 2012 16:13:55 --

Или на отрезке $F(x)=x$ ?

[fancier]

SHKVal в сообщении #648889 писал(а):

Или на отрезке $F(x)=x$ ?

Да, верно. Т.е. это -- площадь под той частью графика плотности распределения (константы), которая лежит слева от $x$. Попробуйте теперь вернуться к двумерному случаю.

[SHKVal]

Так, но если $x>1$, то под графиком будет всегда постоянная площадь, т.е. в итоге

$$ F(x)=\begin{cases} 0,&\text{если $x<0$;}\\ x,&\text{если $x\in [0;1]$;}\\ 1,&\text{если $x>1$.} \end{cases} $$

Правильно?
Если да, то осталось понять, сколько случаев будет, когда величина двумерная.

[PAV]

SHKVal в сообщении #648871 писал(а):

Но геометрическое - это же дискретное распределение, а мои величины непрерывные.

Я не совсем точно написал: не геометрическое распределение, а геометрические вероятности.

-- Сб ноя 24, 2012 15:35:55 --

Оно же - непрерывное равномерное распределение в области.