Количество вещественных корней уравнения 5-й степени

[lff]

Существует ли не слишком сложный способ определения количества вещественных корней уравнения 5-й степени? Интересует, собственно, только вопрос, больше ли одного вещественного корня на некоем интервале.
Идти мне разбираться с корнями Бринга или есть более простое решение?
Все коэффициенты в уравнении ненулевые и нецелые.

[ИСН]

Теорема Штурма же, нет?

[lff]

Спасибо.

[TR63]

Если Вас устроит достаточное условие минимального количества действительных корней, то это очень просто.

-- 22.11.2012, 13:36 --

Уточнение: количество не превосходит единицы.

[lff]

TR63 в сообщении #648036 писал(а):

Если Вас устроит достаточное условие минимального количества действительных корней, то это очень просто.

-- 22.11.2012, 13:36 --

Уточнение: количество не превосходит единицы.

Мне интересно именно - больше единицы или нет.
Кстати, о существовании минимум одного действительного корня в принципе известно.

У меня еще все коэффициенты в уравнении - функция (полиномиальная) от некой переменной и кучки констант, и очень желательно определить аналитически такое неравенство для этой переменной (как функцию от этих констант), при котором количество действительных корней равно 1. Пока что сижу рисую ряд Штурма...

[TR63]

lff в сообщении #648028 писал(а):

Интересует, собственно, только вопрос, больше ли одного вещественного корня на некоем интервале.

lff в сообщении #648055 писал(а):

Мне интересно именно - больше единицы или нет.
Кстати, о существовании минимум одного действительного корня в принципе известно.

lff в сообщении #648055 писал(а):

желательно определить аналитически такое неравенство для этой переменной (как функцию от этих констант), при котором количество действительных корней равно 1.

Вы не ответили на мой вопрос: устроит ли достаточность. Если у Вас будет условие, что $k\le1$ и известно о наличии хотя бы одного действительного корня, то, по-моему, тем самым будет обеспечено существование единственного действительного корня.

[lff]

В том смысле, что мое условие включает и отсутствие действительных корней тоже? Да.
По ошибке в предыдущем посте написала про "равно 1".
Т.е. интересует условие, при котором количество вещественных корней либо 0, либо 1.
И как же получить этот очень простой результат?

[TR63]

Условия бывают: необходимые, достаточные, необходимые и достаточные одновременно. ...

[lff]

Достаточное условие того, что количество вещественных корней меньше или равно 1, меня устроит.

[TR63]

Теперь понятно.
Хочу предупредить, что абсолютной гарантии дать не могу, т.к. метод связан с моей гипотезой "о построении правдоподобных гипотез". (Но теорию устойчивости эта гипотеза опровергла).
Устроит?

[lff]

Спасибо. Я вообще-то уже получила результат, немного упростив условие задачи и получив точное значение одного действительного корня, после чего осталось найти корни полинома 4-й степени и уже из выражений для них получить искомое условие.
Но было бы интересно узнать, что же Вы имели в виду.
Я выписывала ряд Штурма, и пробовала применить теорему про количество вещественных корней (сигнатура ганкелевой матрицы, составленной из сумм Ньютона), но поскольку у меня в исходном полиноме коэффициенты выражаются через функции от нескольких констант и переменной (для которой мне и нужно вывести условие), на каком-то этапе выражения становятся настолько громоздкими, что отпадает желание продолжать
Так что если вдруг существует более простой метод, хотелось бы о нем узнать. Для случая, когда не упрощаем условие задачи...
Правда, как-то смущает предупреждение об отсутствии абсолютной гарантии... Я еще раз уточню - я не теорему доказываю, у меня чисто практическая задача, и если есть способ вывести нужную мне формулу, то она либо будет правильна, либо нет (легко проверить прямым расчетом).

[TR63]

(Только хочу заметить, что, в примерно такой формулировке, Ваша задача (проблема) используется мною для построения новой теории разрешимости уравнений в радикалах, в новой теории устойчивости. Прежняя теория устойчивости не устояла. Устоит ли теория Галуа? Вот в чём вопрос. В наших с Вами интересах есть общая точка пересечения. Может кто из знатоков Форума сумеет предложить элементарное, простенькое, классическое решение проблемы:

lff в сообщении #648106 писал(а):

Достаточное условие того, что количество вещественных корней меньше или равно 1, меня устроит.

.
Кстати, возможно, такое решение известно(не знаю). Для случая $n\le4$ это элементарно.).
Вот, Вы уже ответили. Мне следует перестроиться с ответом.

-- 23.11.2012, 14:00 --

lff в сообщении #648459 писал(а):

получив точное значение одного действительного корня, после чего осталось найти корни полинома 4-й степени и уже из выражений для них получить искомое условие.

Не надо искать точные значения корней уравнения четвёртой степени, если Вам нужна только их количественная характеристика. Смотрите Википедию. Там есть решение этого вопроса (разработка моя; гарантия 100 процентов).

[lff]

TR63 в сообщении #648462 писал(а):

Не надо искать точные значения корней уравнения четвёртой степени, если Вам нужна только их количественная характеристика.

Уже нашла.
Мне нужна была именно точная функция от констант, входящих в коэффициенты полинома. MathCad сделал это за меня
Еще раз уточню, что задача исключительно практическая. Нужно найти максимально допустимое расстояние между излучателями, сигнал в которых формируется по определенному закону, так чтобы форма сигнала на некотором отрезке рядом с ними имела ровно один максимум

[TR63]

lff в сообщении #648459 писал(а):

получив точное значение одного действительного корня, после чего осталось найти корни полинома 4-й степени и уже из выражений для них получить искомое условие.Но было бы интересно узнать, что же Вы имели в виду.

Если ещё актуально, то я подразумевала следующее: для того, чтобы количество действительных корней уравнения степени n было $k\le1$, достаточно, чтобы количество корней производной было равно 0. Для уравнения четвёртой степени есть точное выражение, зависящее от коэффициентов, дающее абсолютную гарантию нулевого количества.

[lff]

TR63 в сообщении #648488 писал(а):

для того, чтобы количество действительных корней уравнения степени n было $k\le1$, достаточно, чтобы количество корней производной было равно 0.

Количество действительных корней производной? А то всего корней вроде как n-1 будет...

TR63 в сообщении #648488 писал(а):

Для уравнения четвёртой степени есть точное выражение, зависящее от коэффициентов, дающее абсолютную гарантию нулевого количества.

Не подскажете, где его можно найти?