Дифференциальные уравнения

[Ward]

Добрый вечер!

Пусть функция $f\in C(\mathbb{R}^2)$. Могут ли два решения каждого из уравнений

$$\dot{y}=f(t,y),$$

$$\ddot{y}=f(t, y),$$

$$y=f(t,\dot{y})$$

а) касаться б) пересекаться?
Случай когда функция $f\in C^{1}(\mathbb{R}^2)$ я решил. В этом случае она решается через теорему существования и единственности, а вот случай $f\in C(\mathbb{R}^2)$ не знаю как подойти. Помогите пожалуйста.

[ИСН]

И что Вам поведала теорема существования и единственности? Ответы по всем шести вопросам?

[Ward]

Возьмем уравнение $\dot{y}=f(t,y)$, где функция $f\in C^1({\mathbb{R}^2})$
Теорема существования и единственности гласит так:

Цитата:

Пусть в области $D$ вектор-функция $f(t,x)$ и ее производные $\dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_j}}$ $(i,j=1, 2, \dots, n)$ непрерывны. Тогда для любой точки $(t_0, x_0)\in D$ может существовать не более одного решения задачи

$${dx \over dt}=f(t,x), x(t_0)=x_0$$

a) Пусть решения этого уравнения касаются в точке $(x_0, y_0)\in\mathbb{R}^2$, но вышеуказанная теорема гласит через эту точку проходит единственное решение данной задачи. Получаем противоречие единственности. Случай когда решения пересекаются в некоторой точке аналогично.

[ИСН]

С этим-то ясно, а которое второй степени?

[cool.phenon]

Последнее должно решаться с помощью теоремы существования-единственности + теорема о неявной функции, вроде бы.