Применения сплайн- и вообще глобальной интерполяции

[profrotter]

_Ivana, простите, но это всё лирика.

[eugrita]

Цитата:

Интерполяционный многочлен Лагранжа используется при численной оценке производной функции по её дискретным значениям.

Да конечно можно использовать невысокую степень до 2 при 2 или 3 точках сетки. Но можно как я предлагал забыть о его существования. Но оставить определения конечных разностей скажем до 2-3 порядков. (где вы видели численное дифференцирование выше 2 порядка?) Тогда ваше численное дифференцирование не пострадает, квадратурные формулы тоже. А вот дурацкие тяжелые вычисления по табличке с 6-10 точками с результатом в виде сильно осциллирующего полинома - вот это - к черту, не надо!
Если есть лишнее учебное время - тогда гораздо практичнее заняться разложениями конечных импульсов в ряды или интегралы Фурье как делается в РТЦ - тут уж применение гарантировано. Можно конечно и по другим ортогональным функциям , вейвлет анализ...- но это путь не накатанный

[ewert]

eugrita в сообщении #644241 писал(а):

(где вы видели численное дифференцирование выше 2 порядка?)

Ну мы видели много где. Скажем, есть такой замечательный метод Нумерова для решения одномерных краевых задач, который использует как раз численное дифференцирование 4-го порядка точности и притом практически без потерь, т.е. без усложнения системы уравнений. Или: при аппроксимации функции глобальным кубическим сплайном (да и локальным тоже) если граничные условия задавать разностными первыми производными, то их во избежание потери точности (т.е. для сохранения четвёртого порядка точности аппроксимации, максимально возможного для кубических сплайнов) следует использовать не менее чем четырёхточечные, т.е. не менее чем третьего порядка точности. Или тупо при численном дифференцировании функции, значения которой самой по себе мы вычислять умеем, а вот значения производной явно или не можем, или просто недосуг: здесь повышение порядка точности метода позволяет уменьшить ошибку, обусловленную погрешностями округления.

[eugrita]

Цитата:

А студентам надо расширять кругозор. Надо пояснить им, что кроме МНК существует много других методов, которые предполагают цифровую обработку исходных данных. Выделение тренда, например, может быть реализовано путём цифровой фильтрации.

По большому счету вы совершенно правы. Но когда приходишь в конкретный ВУЗ на занятия (времени всегда мало) берешь куцую методичку с одной единственной несчастной задачей типа МНК (часто даже и без математики а в виде линии тренда Excel) ,когда представишь этих ленивых студентов, а то еще новых бакалавров, у которых на 2 курсе вообще математика кончилась, и у которых цель не познание а спихнуть зачеты по этим скучным для них занятиям, то поневоле задумаешься. Задуматься можно еще над своей ответственностью в воспитании молодого поколения - наверно надо бороться со всей этой рутиной.Потому что попытка воспитания нового деградирующего поколения на порядок важнее шкурных интересов. Дат только времени мало, ох мало. Да еще не все на занятия ходят. Мечтаешь как об идеале о способных интересующихся ребятах - а их нет.
Большинство препов в такой атмосфере смирилось с рутиной и идут по пути наименьшего сопротивления. Я даже думаю, что интереснее для них бы заниматься не такой информатикой на стыке числ.методов - а как в 6-7 классах школы - дать HTML-CSS- файл и пусть делают- красивые странички. А что? у многих в школе не было полноценной информатике и это им вновинку.

-- Ср ноя 14, 2012 02:24:12 --

Цитата:

ewert есть замечательный метод Нумерова для решения одномерных краевых задач, который использует как раз численное дифференцирование 4-го порядка точности и притом практически без потерь, т.е. без усложнения системы уравнений. .

Спасибо что напомнили поинтересуюсь.
Только у нас так составлена в МГСУ (МИСИ) программа (написаны методички) что дифуры с ЧМ туда почти не входят (пардон, только Эйлер классический и модифицированный) даже Рунге-Кутт 4 порядка не говоря о каком-то Нумерове. (не сочтите за невежество- поинтересовался его биографией - астроном, репрессирован Сталиным). Есть метод конечных разностей, даже попытки частных видов МКЭ, а вот дифуров нет

[_Ivana]

(Оффтоп)

eugrita, а вы преподаватель? Так вместо того, чтобы призывать к упразднению Лагранжа и прочего в программе, лучше подумайте, как сделать занятия интересными. Безо всяких куцых методичек, самому, без ансамбля. Высказать ваши мысли по поводу можете здесь topic63998.html , но ещё лучше - в реальной жизни, на практике.

[ewert]

eugrita в сообщении #644300 писал(а):

Только у нас так составлена в МГСУ (МИСИ) программа (написаны методички)

У нас тоже написаны методички (контора пишеть), но в учебном процессе они по большей части не используются. Любой лектор читает исключительно по своему разумению и ни в какие методички заведомо не вмещается, даже если он сам их и писал; ибо если что писал -- то исключительно для блезиру, курс в них не втиснешь.

Кстати, "Кутт" не существует как фамилия, существует лишь "Кутта" (ну разве что где-нибудь в Полинезиях -- за ними за всеми не уследишь).

[profrotter]

eugrita в сообщении #644241 писал(а):

как делается в РТЦ

А в РТЦ, когда рассматривают нелинейный элемент в режиме степенной аппроксимации ВАХ, именно так и делается: рабочий участок описывают интерполяционным многочленом Лагранжа, обычно 2-3-й степени.

[eugrita]

profrotter в сообщении #644700 писал(а):

eugrita в сообщении #644241 писал(а):

как делается в РТЦ

А в РТЦ, когда рассматривают нелинейный элемент в режиме степенной аппроксимации ВАХ, именно так и делается: рабочий участок описывают интерполяционным многочленом Лагранжа, обычно 2-3-й степени.

Но тем самым вы используете из ВАХ всего 3-4 точки.
Помнится еще по ТОЭ эти цепи с нелинейным элементом строили характеристики и с ними еще линейные преобразования и качественные графики. Правда у диода принималась вообще ступенька - чего там аппроксимировать
--------------------------------------------------------------------------------
Подведем некоторые итоги обсуждения.
1)Конечно полином Лагранжа и Ньютона косвенно используется.
Ньютон и Лагранж действительно один и тот же полином, только 1-й- на равномерной сетке, а 2й=необязательно. И из 1-го выводится ряд численных методов для диф.уравнений. Да и в кубическом сплайне -косвенно тоже 3 степень по 4 точкам.
2)В обсуждении был приведен пример фильтрации - полагаю это не имеет отношения к теме, хотя и интересно
3)Возможно более широкое применение имеет не полиномиальная аппроксимация а аппроксимация по гармоникам - отсюда сразу ДПФ, применимость которого очевидна.
4)В связи с этим мне кажется для преподавания в ВУЗе оставить упоминание о полиномах Лагранжа и Ньютона можно. Особенно Ньютона - чтобы выводить с его помощью численные методы. Если говорить еще о полиномах Чебышева - то они требуют своей специфической сетки - и только в контексте задач где они могут потребоваться.
5)Думаю такое обсуждение "на пальцах" все же полезно. Ведь профессиональное изложение аппроксимации в функц.анализе (см. например Городецкий.Методы решения задач по функ.ану) довольно тяжелое с специфической символикой и терминологией, отпугивающей интересующегося

[ewert]

eugrita в сообщении #645131 писал(а):

Ньютон и Лагранж действительно один и тот же полином, только 1-й- на равномерной сетке, а 2й=необязательно.

Первый тоже совсем не обязательно.

eugrita в сообщении #645131 писал(а):

Возможно более широкое применение имеет не полиномиальная аппроксимация а аппроксимация по гармоникам

Область применения тригонометрической интерполяции как раз крайне частна -- лишь для периодических сигналов. Зато в зависимости от решаемой задачи вместо полиномов можно по мере надобности использовать какие угодно наборы функций (с некоторыми оговорками)

eugrita в сообщении #645131 писал(а):

Если говорить еще о полиномах Чебышева - то они требуют своей специфической сетки

Многочлены Чебышёва сами по себе вообще никакой сетки не требуют -- многочлены они и в Африке многочлены, какой фамилией ни обзови. Там связь с интерполяцией обратная: в качестве узлов интерполяции бывает выгодно использовать корни многочленов Чебышёва.

[profrotter]

eugrita в сообщении #645131 писал(а):

В обсуждении был приведен пример фильтрации - полагаю это не имеет отношения к теме, хотя и интересно

Ой напраслина. Вы в стартовом сообщении жаловались на то, что вам студенты сказали, что все данные обычно оказываются зашумлены и поэтому нужна аппроксимация, а не интерполяция:

eugrita в сообщении #643697 писал(а):

На безупречный аргумент что "все физические и экономические измерения происходят с ошибками и как следствие из этого - исх.данные надо сглаживать, искать зависимости не точно проходящие через точки а аппроксимации" мне нечего возразить.

Так вот этот аргумент, который, я думаю, принадлежит всё же вам лично, а студенты тут выступают в качестве литературного героя, разбит в пух и прах, ибо пример показывает, что зашумлённость данных можно устранить без какой-либо аппроксимации, методами цифровой фильтрации, что и является предпосылкой для дальнейшего решения задачи интерполяции. Таким же образом выполняется и прогноз. Причём указанный подход является более универсальным, реализуется программно и позволяет предоставлять пользователю сразу конечный результат, не вынуждая его заботиться о выборе вида той или иной аппроксимирующей функции.

Я вообще прихожу к выводу, что с появлением компьютеров аппроксимация отходит на второй план, а интерполяция приобретает первостепенное значение.

[eugrita]

вот сам неожиданно столкнулся для себя с примером применения интерполяции:
в технических характеристиках веб-камеры кроме разрешения скажем460x800
пиксел сказано что она допускает интерполяцию изображения и дано новое более высокое разрешение. Поясните с т.зр.математики что интерполируется?
Цвета? (т.е. доли RGB? - каждая точка (пиксел характеризуется тройкой интенсивностей или 2-мерным вектором RGB)
И вообще какой вид интерполяции используется в обработке изображений?

[Алексей К.]

Используется при преобразовании изображения размером W1xH1 в W2xH2, как при сжатии, так и при увеличении.
Описано в мануале по Intel IPP, Приложение B, кажется. Ссылку сейчас поищу.

-- 22 ноя 2012, 21:17:36 --

http://software.intel.com/sites/products/documentation/hpc/ipp/ippi/ippi_appendices/ippi_appB_Intro.html#ippi_appB_Intro

-- 22 ноя 2012, 21:20:49 --

В реализации применяется отдельно к каждому из 3-х--- 4-х компонентов цвета (одного компонента при чёрно-белом изображении).

[ewert]

eugrita в сообщении #648187 писал(а):

И вообще какой вид интерполяции используется в обработке изображений?

Самые разные. Залезьте в ту же Фотошопу и полазайте там по менюшкам -- где-то непременно обнаружите предложение выбрать один из нескольких методов интерполирования (но где конкретно и из чего предлагается выбирать -- естественно, не помню).

[eugrita]

Спасибо Алексею К. за ссылку.
Вот сегодня и неделю назад обкатал с боем тему интерполяции.
Есть у меня группа т.н. ускоренных бакалавров.т.е математику им читали всего 1 семестр на 1 курсе а сейчас на 2-м вообще не читают. А я с ними должен информатикой, но у нас она видите ли не просто, а с численными методами, т.е. вычислительная математика с применением компьютера.
Так вот, над этими бакалаврами я командир. И программу им должен я придумать и экз.билеты. Ну и т.к. во всех почти ВУЗах вместе с численными методами затагивают вопрос интерполяции - решил тоже. Начал рисовать мелом на доске ф-лы полинома Лагранжа, и конечно-разностную табл. пол.Ньютона... а они:
так ведь это ж математика, зафиг это нам надо.... А где это у нас применяться будет? Ну тут им под скорую руку про интерполяцию кривых в Автокаде и интерполяцию изображений в фото-и видео-камерах выложил. Их это не шибко устроило. Так вот пусть мне и вы и все мировое и российское научное сообщество помогает. Цель то благородная - вбить хоть основы представления методов обработки данных (бог с ним с основами функана) в эти головы. Вот за это не люблю ВУЗы. Подсовывают учить группы такой специализации, что математика и вычислительная математика им по жизн и профессии не очень то понадобятся. А вот программистов, физиков, математиков перехватили другие. Служить бы рад прислуживаться тошно...