2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 С первого взгляда школьная задачка (пропорции)
Сообщение07.05.2007, 16:15 


07/05/07
20
Здравствуйте!
В благородном порыве пообещал девушке помочь с легкой на первый взгляд задачей, и теперь сидим оба и курим...
После собрания воздух в зале вместимостью 10800 м3 содержит 0,12 % СО2. Сколько кубических метров воздуха, содержащего 0,04 % СО2, надо ежеминутно доставлять в зал, чтобы по истечении 10 минут содержание углекислоты в нем было 0,06 %?
Собрался решать в таком духе: х метров кубических воздуха нужно каждую минуту, т.к. это постоянная величина в каждую минуту, всего воздуха надо 10х, содержание в нем углекислоты будет 10х*0,04. Изначально в воздухе было 10800*0,12 СО2, нужно чтоб стало 10800*0,06...
А потом я начал думать, что дело надо иметь с соотношением СО2 в воздухе и 10800 - это первоначальный объем имеющегося воздуха, и фиксирован ли он? Или это объем зала, а газ занимает весь предоставленный объем... И не будет же он сжиматься там в зале, а часть будет улетучиваться..
В общем, куча вопросов и ничего не понятно. Запутался в конец, помогите распутаться :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2007, 16:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Тут два предельных случая (реальный ответ может быть где угодно между ними):
(1) "Кубометры" стоят, как люди в очереди. Зашёл кубометр свежего воздуха, с другого конца вышел кубометр спёртого. Следующий.
(2) Кубометр вошёл, размешался по всему залу, вышел кубометр того, что получилось. Следующий.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2007, 16:58 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
В первом случае обычные пропорции, дают что надо менять 3/4 V объёма воздуха.
Во втором случае концентрация за вычетом 4% убывает по ехпоненте и для уменьшения от 8=12-4 до 2=6-4 надо прогнать Vln(4) воздуха.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2007, 19:28 


07/05/07
20
погодите, откуда вы такие числа взяли...
я решаю как...
пусть х - объем воздуха который надо впустить с 0,04 концентрацией. по первой схеме допустим через одну минуту в зале остается (10800-х) метров с 0,12 и х с 0,04. т.е. получаем новую концентрацию y(1) = ((10800-x)*0,12+0,04*x)/10800. Потом мы снова впускаем х свежего воздуха и получаем концентрацию СО2 через 2 минуты y(2) = ((10800-x)*y(1)+0,04*x)/10800 и т.д. А через 10 минут мы получаем y(10) = 0,06 по условию.
итого у меня формула рекуррентная, я не могу получить в аналитическом виде y(t), причем с кучей неизвестных...
Или я не туда веду?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2007, 19:38 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Zlak писал(а):
погодите, откуда вы такие числа взяли...
я решаю как...
пусть х - объем воздуха который надо впустить с 0,04 концентрацией. по первой схеме допустим через одну минуту в зале остается (10800-х) метров с 0,12 и х с 0,04. т.е. получаем новую концентрацию y(1) = ((10800-x)*0,12+0,04*x)/10800. Потом мы снова впускаем х свежего воздуха и получаем концентрацию СО2 через 2 минуты y(2) = ((10800-x)*y(1)+0,04*x)/10800 и т.д. А через 10 минут мы получаем y(10) = 0,06 по условию.
итого у меня формула рекуррентная, я не могу получить в аналитическом виде y(t), причем с кучей неизвестных...
Или я не туда веду?

1. Выпускается не смешанный воздух. В этом случае, всё равно, что считать в ваших соотношениях только один раз вычисляется y(1)=0.06. В этом случае надо менять 3/4 части объёма воздуха за 10 минут.
2. В этом случае я решил как непрерывный процесс, когда обозначив через y=y(i)-0,04 - избыток к бесконечному по t предельному значению, получаем, что этот избыток падает по экспоненте. Раз этот избыток упал в 4 раза, количество прогоняемого воздуха равно V*ln(4).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2007, 19:51 


07/05/07
20
Бррр.. Я, наверное, не правильно понял первый случай.
Вы имеете в виду, выпускается несмешанный воздух, т.е. он со свежим вообще _никогда_ не мешается, а постоянно тусуется у выхода.... и выходит соответственно всегда 12% углекислый... Эта ситуация, видимо далека от реальной ситуации, а я имел в виду случай, что, например, одновременно с одного конца выпускается спертый (какой-то неизвестной изначально, зависящей уже от того количества свежего, с которым его размешали к этому моменту, концентрацией - переменной), а с другого впускается свежий. По ходу, это второй случай, который Вы упоминали?
Вы бы не могли его подробней пояснить, а то я что-то как-то... Что есть у, что есть y(i), откуда берется экспонента?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2007, 20:32 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Я через y(t) обозначил разницу концентрацией со свежей. В начальный момент y(t)=0.12-0.04=0.08, а в последний момент T он равен 0.06-0.04=0.02, т.е. уменьшился в четыре раза. Так как y(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению y'+ay=0, он убывает по эхспоненциальному закону (a=1 при соответствующей нормировкеt), значит за время T прогоняется Vln(4) свежего воздуха.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2007, 21:58 


07/05/07
20
Гм... До введения в рассмотрение ДУ понятно... Как оно вообще вылупилось?.. Насколько я помню смысл производной - это получается скорость изменения разницы концентрации. И она получается противоположна самой разнице концентрации, помноженной на какой-то коэффициент. Т.е. тут y' - разница разниц концентрации за бесконечно малый промежуток времени. Противоположная зависимость идет от пропорциональности - в 4 раза уменьшилась с течением времени... Так? На этом к сожалению мое понимание Вашей идеи заканчивается. Откуда взять параметра а?
И если решать уравнение y'+ay=0, $ y(t) = Ce^{-at}$, то даже если я знаю разницу концентраций как функцию от t, как мне ее привязать к объему? Я, может, уже и дико торможу, мучая эту задачу второй день почти без отдыха :), но это Вам, с Вашими небось не просто образованиями простых специалистов, очевидно тут все и Вы оглашаете основные тезисы, мне же вообще... Весьма трудно. Вроде и близко, а как-то... В руки не идет. Извините за непрекращающиеся вопросы и уточнения :) Просто очень хочется допереть, до того как мой моск порвется %)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.05.2007, 23:29 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Пусть за единицу времени втекает а долей свежего воздуха, где концентрация равна y+0.04.
Вычислим как вы концентрацию в момент y(t+dt):
y(t+dt)+0.04=0.04adt+(y(t)+0.04)-a(y(t)+0.04)dt, т.е. y'=-ay или y=Cexp(-at).
При этом aT есть прогоняемое количество воздуха за время T по отношению заданного объёма V, так как (см. раннее) exp(-aT)=1/4, то этот объём равен V*ln(4), т.е. примерно в полтора раза больше объёма помещения надо прогнать свежего воздуха.
Извините, я больше не могу объяснять такие простые вычисления.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group