С первого взгляда школьная задачка (пропорции)

[Zlak]

Здравствуйте!
В благородном порыве пообещал девушке помочь с легкой на первый взгляд задачей, и теперь сидим оба и курим...
После собрания воздух в зале вместимостью 10800 м3 содержит 0,12 % СО2. Сколько кубических метров воздуха, содержащего 0,04 % СО2, надо ежеминутно доставлять в зал, чтобы по истечении 10 минут содержание углекислоты в нем было 0,06 %?
Собрался решать в таком духе: х метров кубических воздуха нужно каждую минуту, т.к. это постоянная величина в каждую минуту, всего воздуха надо 10х, содержание в нем углекислоты будет 10х*0,04. Изначально в воздухе было 10800*0,12 СО2, нужно чтоб стало 10800*0,06...
А потом я начал думать, что дело надо иметь с соотношением СО2 в воздухе и 10800 - это первоначальный объем имеющегося воздуха, и фиксирован ли он? Или это объем зала, а газ занимает весь предоставленный объем... И не будет же он сжиматься там в зале, а часть будет улетучиваться..
В общем, куча вопросов и ничего не понятно. Запутался в конец, помогите распутаться

[ИСН]

Тут два предельных случая (реальный ответ может быть где угодно между ними):
(1) "Кубометры" стоят, как люди в очереди. Зашёл кубометр свежего воздуха, с другого конца вышел кубометр спёртого. Следующий.
(2) Кубометр вошёл, размешался по всему залу, вышел кубометр того, что получилось. Следующий.

[Руст]

В первом случае обычные пропорции, дают что надо менять 3/4 V объёма воздуха.
Во втором случае концентрация за вычетом 4% убывает по ехпоненте и для уменьшения от 8=12-4 до 2=6-4 надо прогнать Vln(4) воздуха.

[Zlak]

погодите, откуда вы такие числа взяли...
я решаю как...
пусть х - объем воздуха который надо впустить с 0,04 концентрацией. по первой схеме допустим через одну минуту в зале остается (10800-х) метров с 0,12 и х с 0,04. т.е. получаем новую концентрацию y(1) = ((10800-x)*0,12+0,04*x)/10800. Потом мы снова впускаем х свежего воздуха и получаем концентрацию СО2 через 2 минуты y(2) = ((10800-x)*y(1)+0,04*x)/10800 и т.д. А через 10 минут мы получаем y(10) = 0,06 по условию.
итого у меня формула рекуррентная, я не могу получить в аналитическом виде y(t), причем с кучей неизвестных...
Или я не туда веду?

[Руст]

Zlak писал(а):

погодите, откуда вы такие числа взяли...
я решаю как...
пусть х - объем воздуха который надо впустить с 0,04 концентрацией. по первой схеме допустим через одну минуту в зале остается (10800-х) метров с 0,12 и х с 0,04. т.е. получаем новую концентрацию y(1) = ((10800-x)*0,12+0,04*x)/10800. Потом мы снова впускаем х свежего воздуха и получаем концентрацию СО2 через 2 минуты y(2) = ((10800-x)*y(1)+0,04*x)/10800 и т.д. А через 10 минут мы получаем y(10) = 0,06 по условию.
итого у меня формула рекуррентная, я не могу получить в аналитическом виде y(t), причем с кучей неизвестных...
Или я не туда веду?

1. Выпускается не смешанный воздух. В этом случае, всё равно, что считать в ваших соотношениях только один раз вычисляется y(1)=0.06. В этом случае надо менять 3/4 части объёма воздуха за 10 минут.
2. В этом случае я решил как непрерывный процесс, когда обозначив через y=y(i)-0,04 - избыток к бесконечному по t предельному значению, получаем, что этот избыток падает по экспоненте. Раз этот избыток упал в 4 раза, количество прогоняемого воздуха равно V*ln(4).

[Zlak]

Бррр.. Я, наверное, не правильно понял первый случай.
Вы имеете в виду, выпускается несмешанный воздух, т.е. он со свежим вообще _никогда_ не мешается, а постоянно тусуется у выхода.... и выходит соответственно всегда 12% углекислый... Эта ситуация, видимо далека от реальной ситуации, а я имел в виду случай, что, например, одновременно с одного конца выпускается спертый (какой-то неизвестной изначально, зависящей уже от того количества свежего, с которым его размешали к этому моменту, концентрацией - переменной), а с другого впускается свежий. По ходу, это второй случай, который Вы упоминали?
Вы бы не могли его подробней пояснить, а то я что-то как-то... Что есть у, что есть y(i), откуда берется экспонента?

[Руст]

Я через y(t) обозначил разницу концентрацией со свежей. В начальный момент y(t)=0.12-0.04=0.08, а в последний момент T он равен 0.06-0.04=0.02, т.е. уменьшился в четыре раза. Так как y(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению y'+ay=0, он убывает по эхспоненциальному закону (a=1 при соответствующей нормировкеt), значит за время T прогоняется Vln(4) свежего воздуха.

[Zlak]

Гм... До введения в рассмотрение ДУ понятно... Как оно вообще вылупилось?.. Насколько я помню смысл производной - это получается скорость изменения разницы концентрации. И она получается противоположна самой разнице концентрации, помноженной на какой-то коэффициент. Т.е. тут y' - разница разниц концентрации за бесконечно малый промежуток времени. Противоположная зависимость идет от пропорциональности - в 4 раза уменьшилась с течением времени... Так? На этом к сожалению мое понимание Вашей идеи заканчивается. Откуда взять параметра а?
И если решать уравнение y'+ay=0, $ y(t) = Ce^{-at}$, то даже если я знаю разницу концентраций как функцию от t, как мне ее привязать к объему? Я, может, уже и дико торможу, мучая эту задачу второй день почти без отдыха , но это Вам, с Вашими небось не просто образованиями простых специалистов, очевидно тут все и Вы оглашаете основные тезисы, мне же вообще... Весьма трудно. Вроде и близко, а как-то... В руки не идет. Извините за непрекращающиеся вопросы и уточнения Просто очень хочется допереть, до того как мой моск порвется %)

[Руст]

Пусть за единицу времени втекает а долей свежего воздуха, где концентрация равна y+0.04.
Вычислим как вы концентрацию в момент y(t+dt):
y(t+dt)+0.04=0.04adt+(y(t)+0.04)-a(y(t)+0.04)dt, т.е. y'=-ay или y=Cexp(-at).
При этом aT есть прогоняемое количество воздуха за время T по отношению заданного объёма V, так как (см. раннее) exp(-aT)=1/4, то этот объём равен V*ln(4), т.е. примерно в полтора раза больше объёма помещения надо прогнать свежего воздуха.
Извините, я больше не могу объяснять такие простые вычисления.