Отображения линейных пр-в в R

[SleepWalker]

Хочу разобраться как устроена гладкая структура у грассманиана (вещественного).
Картирующие отображения имеют вид:
$h(\pi(A)) = A^{-1}\tilde{A}$, где A - минор k-го порядка некой матрицы $n \times k$, строки которой характеризуют векторы, на которые натянуто подпространство, $\tilde{A}$ - как я понимаю оставшиеся элементы после выделения минора.
По определению карты, необходимо чтобы образ этого отображения был открыт в $R^{k(n-k)}$. Вопрос, как доказать открытость?
Биективность отображения понятна при рассмотрении того по каким соображениям мы взяли именно такое отображение.
Далее, как доказать согласованность карт? Не совсем понятно, что отображать в R при пересечении карт (то есть пересечение лин. подпространств? получится другое под-во, его чтоли отображать). И опять же встанет вопрос об открытости образа такого отображения. Также непонятно, что будет отображениями перехода и как показать гладкость этого отображения.