Объем выборки для проверки гипотезы об объеме брака

[faruk]

Некто утверждает, что среднее число бракованных деталей определенного производства не превышает 5%. Вы видите, что это не так, но хотите быть на 99% уверены, прежде чем предъявлять претензии. Какое минимальное количество деталей необходимо взять на проверку?

[PAV]

Задача сформулирована плохо. Непонятно, что означает "это не так". Предположим на секундочку, что Вы откуда-то знаете, что на самом деле доля брака в среднем 10%. Тогда нужно построить интервал, в который с вероятностью 99% попадет число брака при p=0.05, аналогичный интервал для p=0.10 и подобрать такое минимальное n, при котором они не пересекаются. Тогда (если Вы действительно правы) число брака попадет именно в Ваш интервал, что даст надежные основания предъявлять претензии.

Но если вероятность брака на самом деле, скажем, 6%, то чтобы интервалы не пересекались, потребуется больше тестов. Если 5.1%, то еще больше. Вообще можно потенциально "разделить" любые две разные вероятности, но чем они ближе друг к другу, тем больше наблюдений для этого необходимо.

Возможно, я не совсем понял, что должна означать вероятность 99%, тогда поясните.

[faruk]

Истинный процент брака неизвестен. При очень большой выборке его можно установить. Но этого в задаче не требуется, нужно всего лишь опровергнуть нулевую гипотезу (p≤0.05).
Если мы в выборке из 1000 деталей обнаруживаем более 67 бракованных, то вероятность того, что p≤0.05, не превышает 1%. Т.е. с 99%-ной уверенностью мы можем утверждать: p>0.05.
Но обязательно ли проверять так много деталей? Очевидно, существует нижняя граница, которую и нужно определить.

[PAV]

Не очевидно. Вы жа сами видите из Вашей таблицы: если Вы проверите 10 деталей и число бракованных превысит 3, то и этого достаточно для утверждения с 99%-ной вероятностью, что нулевая гипотеза неверна. Если так рассуждать, то достаточно и двух деталей: при p=0.05 вероятность того, что обе они окажутся бракованными, равна 0.0025 и если это произошло, то можно уверенно предъявлять претензии.

А с другой стороны, допустим, что процент брака настоящий равен 6%. Тогда из 1000 деталей наиболее вероятно будет брака 60 и по Вашему критерию этого не достаточно, чтобы опровергнуть равенство p=0.05 с уверенностью 99%. Но если взять больше деталей, то начиная с некоторого момента это можно будет сделать.

Добавлено спустя 4 минуты 5 секунд:

Так что минимальное число деталей существенно зависит от того, насколько близким к p=0.05 может быть истинный процент брака. А такого объема выборки, который бы подходил для любого значения $p>0.05$, не существует.