"О" большое и "о" малое

[IndCat]

Нужно доказать, что $O(o(g(x)))=o(O(g(x)))$

Пытался доказывать по определению:
Предел должен быть равен 0: $\lim_{x \to x_0} \frac{O(o(g(x)))}{O(g(x))} =0$
Далее раскладывал: $\lim_{x \to x_0} \frac{O(o(g(x)))}{O(g(x))} = \lim_{x \to x_0} \frac{O(o(g(x)))}{o(g(x))} \frac{o(g(x))}{O(g(x))} $


И тут столкнулся с проблемой: интуитивно кажется, что $\lim_{x \to x_0} \frac{O(o(g(x)))}{o(g(x))}$ конечен, а $\lim_{x \to x_0} \frac{o(g(x))}{O(g(x))}=0 $. А вот как это доказать, я не знаю. Тут и прошу помощи.

[Munin]

IndCat в сообщении #646750 писал(а):

интуитивно кажется, что $\lim_{x \to x_0} \frac{O(o(g(x)))}{o(g(x))}$ конечен, а $\lim_{x \to x_0} \frac{o(g(x))}{O(g(x))}=0 $.

$\lim\limits_{x\to x_0}\tfrac{O(o(g(x)))}{o(g(x))}$ может быть каким угодно: бесконечностью, конечным ненулевым числом, нулём, не существовать. Всё дело в том, что о-малое - это не конкретная функция, а нечто, и в числителе и знаменателе оно может быть разное.
$\lim\limits_{x\to x_0}\tfrac{o(g(x))}{O(g(x))}=0$ просто по определению. Если знаменатель в нуль не обращается, чего он делать может, зараза, тут надо внимательнее.

[zhoraster]

Эта запись, вообще говоря, бессмысленна. Какой смысл в нее вкладывают авторы, неясно.

Предположу, что смысл записи $f(x)=O(o(g(x))),x\to a$ -- "существует функция $h$, что $f(x)=O(h(x)),x\to a$ и $h(x)=o(g(x)),x\to a$" (и аналогично для другой). Тогда обе записи означают $f(x) = o(g(x)),x\to a$.

[phys]

(Оффтоп)

C завидной регулярностью появляются темы про "О" большой и малое, предлагаю сделать одну, в которую нужно внести обобщенное мнение всех участников форума, и прикрепить :)