Find all solutions

[Keter]

Решить уравнение для всех допустимых $x, y, z$:

$$x^2-2x \sin (\pi y)+2 \cos x^2 - \cos 2x + \sqrt{-3x-z^2-4xz}=(1+2xz) \ln \bigg( \dfrac{2y}{z^2} \bigg).$$

Попробовал найти область допустимых значений.

Ясно, что $y>0, z \ne 0$, это следует из выражения $\ln \bigg( \dfrac{2y}{z^2} \bigg)$. Далее $-3x-z^2-4xz \ge 0$, относительно $z$ имеем $(-2x-\sqrt{x(4x-3)}) \le z \le (\sqrt{x(4x-3)}-2x)$. Тогда для $x$ тоже будут ограничения, причем нужно заметить, если $x=0$, то условие $z=0$ обязательно, что противоречит выше написанному, то есть $x \ne 0$. Кроме этого, $x \in (-\infty; 0) \cup (3/4; +\infty)$.

Пробовал преобразовывать всячески, но никаких разумных закономерностей не увидел. Если заменить $\cos 2x=2 \cos^2 x -1$, то в уравнении появится интересная структура $x^2-2x \sin (\pi y)+1$...
По-разному пытался, но ничего. Никак не могу отделить $z$, выразить через $x, y$ ...

Что это такое в пространстве? Какие-то изогнутые поверхности или что-то в этом роде?

Но что занимательного в данном уравнении? Как на него влияет корень или логарифм или теже тригонометрические структуры, что это нам даёт?

[AKM]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[Cash]

Если нет ошибок в условии, то слева стоит ограниченная (при фиксированных $x, z$) непрерывная функция от $y$, справа - либо непрерывная монотонная возрастающая по $y$ от $-\infty$ до $+\infty$, либо непрерывная монотонная убывающая по $y$ от $+\infty$ до $-\infty$ . То есть для любых допустимых значений $x$ и $z$ уравнение будет иметь по крайней мере одно решение. Найти это решение в общем случае не представляется возможным.

-- Пн ноя 19, 2012 08:52:24 --

И есть еще случай $xz=-1/2$, который легко решается. Но им, к сожалению, всё не исчерпывается.

[alcoholist]

а как решить уравнение $x+y+z=0$ знаете?

[Keter]

alcoholist, скорее нет.
Я могу написать что-то вроде $x= \alpha, y=\beta, z=-\alpha-\beta$, но это не то наверное.

[ИСН]

А как Вы представляете "то" в такой кристально ясной ситуации, если это "не то"?

[Keter]

ИСН, значит это то?

[Toucan]

Тема перенесена в Карантин, чтобы дать автору возможность отредактировать стартовый пост

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[alcoholist]

Keter в сообщении #646520 писал(а):

Я могу написать что-то вроде $x= \alpha, y=\beta, z=-\alpha-\beta$, но это не то наверное.

это называется параметризация

сомневаюсь, что в данном случае есть надежда на то, чтобы параметризовать

[Keter]

alcoholist, тогда как решить, например, $x-y-z=0$?

[alcoholist]

Keter в сообщении #648551 писал(а):

alcoholist, тогда как решить, например, $x-y-z=0$?

я к тому спросил чтобы понять что именно Вы подразумеваете под решением.

А поверхность заданную уравнением

Keter в сообщении #646196 писал(а):

$$x^2-2x \sin (\pi y)+2 \cos x^2 - \cos 2x + \sqrt{-3x-z^2-4xz}=(1+2xz) \ln \bigg( \dfrac{2y}{z^2} \bigg).$$

нет никакой надежды параметризовать с помощью элементарных функций

[Keter]

alcoholist, как можно оценить выражение
$x^2-2x \sin (\pi y)+2 \cos x^2 - \cos 2x + \sqrt{3x-4x^2-(z+2x)^2}$,
с учетом того, что $x \in (-\infty; 0) \cup [3/4; +\infty), \quad y \in (0; +\infty)$?