Дифференциальное уравнение

[Limit79]

Есть такой диффур: $(xy'-y)15y^3 = -x^4 e^\left({\frac{y}{4}}\right)^4 $

Оригинал:

(Оффтоп)

Делю все на $15xy^3$, получаю:

$y'- \frac{y}{x} = -\frac{x^3 e^\left({\frac{y}{4}}\right)^4}{15y^3} $

Делаю замену $y=uv$, нахожу $v=x$, тогда:

$u'x = -\frac{x^3 e^\left({\frac{ux}{4}}\right)^4}{15(ux)^3} $

$u' = -\frac{e^\left({\frac{ux}{4}}\right)^4}{15u^3 x} $

$\frac{du}{dx}= -\frac{e^\left({\frac{ux}{4}}\right)^4}{15u^3 x} $

$u^3 e^{-u^4}} du = -\frac{e^{\left({\frac{x}{4}}\right)^4}}{15x} dx$

Интеграл от левой части берется легко, а вот от правой затрудняюсь в решении. Или я до этого что-то сделал не так?

[ИСН]

Переход от предпоследнего к последнему выражению чуть поподробнее, пожалуйста.

[Limit79]

ИСН

Потерял минус, поправил, спасибо. Вот подробно:

$\frac{du}{dx}= -\frac{e^\left({\frac{ux}{4}}\right)^4}{15u^3 x} $

$\frac{du}{dx}= -\frac{e^\left({{\frac{x}{4}}\right)^4} e^{u^{4}}}{15u^3 x} $

$\frac{du}{dx} e^{-u^{4}}= -\frac{e^\left({{\frac{x}{4}}\right)^4} }{15u^3 x} $

$u^3 e^{-u^4}} du = -\frac{e^{\left({\frac{x}{4}}\right)^4}}{15x} dx$

[ИСН]

А здесь переход от первого ко второму.

[TOTAL]

Limit79 в сообщении #644907 писал(а):

$\frac{du}{dx}= -\frac{e^\left({\frac{ux}{4}}\right)^4}{15u^3 x} $

$\frac{du}{dx}= -\frac{e^\left({{\frac{x}{4}}\right)^4} e^{u^{4}}}{15u^3 x} $

Как из первого получилось второе?

[Limit79]

ИСН
TOTAL

Действительно, второе не равно первому, но чему тогда равно $a^{mn} = ...$ ?

[TOTAL]

Limit79 в сообщении #644914 писал(а):

но чему тогда равно $a^{mn} = ...$ ?

Много чего можно придумать. Например,
$a^{mn} = a^{mn}+5-5=a^{nm}=\left(a^{m} \right)^n$

[Limit79]

TOTAL
В контексте разделения переменных.

[Limit79]

Господа, меня осенило: так это же вообще получается не уравнение Бернулли, так как в Бернулли в правой части должно стоять $y^n$, а тут $f(y)$.

-- 15.11.2012, 19:50 --

Тогда не могу понять какое оно:
1) Не с разделяющимися переменными.
2) Не однородное.
3) Не линейное.
4) Не в полных дифференциалах.

[Limit79]

Единственное, что приходит на ум, это свернуть по $(f(x)f(y))'$

-- 15.11.2012, 22:20 --

Исходное: $(xy'-y)15y^3 = -x^4 e^\left({\frac{y}{4}}\right)^4 $

Преобразовываем к: $15y^4e^{-\left({\frac{y}{4}}\right)^4}x^{-4} - xy'15y^3e^{-\left({\frac{y}{4}}\right)^4}x^{-3}=1$

И как-то это дело свернуть в производную произведения.

[Limit79]

Так же еще есть мнение, что в условии опечатка, и справа в знаменателе степени будет не $4$, а $x$, и тогда это уравнение - однородное, но...

[bot]

Скорее всего опечатка - должно быть $(xy'-y)15y^3 = -x^4 e^\left({\frac{x}{4}}\right)^4 $

Тогда после напрашивающейся замены получится линейное уравнение и всё легко интегрируется.

-- Сб ноя 17, 2012 11:24:10 --

Нет однако - потерял один множитель, на самом деле последний шаг в решении линейного уравнения даёт неэлементарный интеграл типа $\displaystyle \int\dfrac{e^t}{t}dt$, что впрочем не мешает выписать ответ.
В случае, если $4$ это $x$ тоже можно применить ту же замену и после применения метода для линейных уравнений (хотя оно таковым не является) будет хуже.

[Limit79]

bot
Если заменить $4$ на $x$ в знаменателе дроби. то получится же однородное? Которое, кстати, вполне нормально решается.

[bot]

А и в самом деле.