Интеграл по замкнутому контуру

[arseniy]

Подскажите с решением, плиз

$\oint\limits_{|z-1|=5}z^2 e^{1/z^3}dz$

Особые точки: $z=0$ - полюс третьего порядка

Окружность - с центром в точке 1, радиусом 5, в которую z=0 попадает.

$\int\limits_{|z-1|=5}z^2 e^{1/z^3}dz=2\pi i\cdot \operatorname{res}\limits_{z=0}z^2 e^{1/z^3}= $

$=2\pi i\cdot \frac{1}{2}\cdot \lim\limits_{z\to 0}\frac{d^2}{dz^2}\cdot z^5 e^{1/z^3}$

B итоге получается $\pi i\cdot \lim\limits_{z\to0} z^4 e^{1/z^3}\cdot(5-\frac{3}{z^3})$

И двустороннего предела не существует. Как быть в таком случае? Или где-то ошибка?

[Munin]

Я вижу одну взятую производную.

[Maslov]

arseniy в сообщении #644613 писал(а):

Подскажите с решением, плиз

$\oint\limits_{|z-1|=5}z^2 e^{1/z^3}dz$

Особые точки: $z=0$ - полюс третьего порядка

Это Вы как определили?

[Henrylee]

arseniy в сообщении #644613 писал(а):

Особые точки: $z=0$ - полюс третьего порядка

Это неверно

[ewert]

arseniy в сообщении #644613 писал(а):

И двустороннего предела не существует. Как быть в таком случае?

Как? -- просто молча вспомнить теорию: для какого типа особых точек предел (пусть хоть конечный, хоть бесконечный) не существует?...

[arseniy]

Получается что z нулевое является существенно особой точкой, и вычет нужно находить методом лорановского разложения?

[SpBTimes]

именно

[arseniy]

Может быть так:

Разложим ф-цию $z^2e^{1/z^3}$ в ряд Лорана:

$t=\frac{1}{z^3}, z=\sqrt[3]{\frac{1}{t}}, z^2=t^{\frac{2}{3}}$

$f(t)=\frac{1}{t^{2/3}}e^t=\frac{1}{t^{2/3}}(1+t+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+\frac{t^4}{4!}+...)=$

$=t^{-2/3}+t^{1/3}+\frac{t^{4/3}}{2!}+\frac{t^{7/3}}{3!}+\frac{t^{10/3}}{4!}+...$

Обратная подстановка:

$f(z)=z^2+\frac{1}{z}+\frac{1}{2!\cdot z^4}+\frac{1}{3!\cdot z^7}+\frac{1}{4!\cdot z^10}+...$

Главная часть содержит бесконечное число членов ряда, поэтому
$z=0$ – существенно особая точка. Она лежит внутри круга $|z-1|=5$ .

Вычет в точке $z=0$ равен коэффициенту $C_{-1}=\frac{1}{3!}$

$\operatorname{res}\limits_{z=0} f(z)=\frac{1}{3!}$

$\int\limits_{|z-1|=5}z^2e^{1/z^3}dz=2\pi \cdot \operatorname{res}\limits_{z=0}f(z)=\frac{2\pi i}{3!}=\frac{\pi i}{3}$

[Henrylee]

arseniy в сообщении #644777 писал(а):

Вычет в точке $z=0$ равен коэффициенту $C_{-1}=\frac{1}{3!}$

$\operatorname{res}\limits_{z=0} f(z)=\frac{1}{3!}$

А подумать?

[Maslov]

arseniy в сообщении #644777 писал(а):

Вычет в точке $z=0$ равен коэффициенту $C_{-1}=\frac{1}{3!}$

Что такое $C_{-1}$?

[arseniy]

$C_{-1}$ - это коэффициент первого члена главной части ряда, если я правильно понял

[Maslov]

А что такое главная часть ряда Лорана?
(Все-таки очень интересно выяснить, откуда взялось $\dfrac 1 {3!}$)

-- Чт ноя 15, 2012 00:53:49 --

Что является главной частью Вашего ряда?

arseniy в сообщении #644777 писал(а):

$f(z)=z^2+\frac{1}{z}+\frac{1}{2!\cdot z^4}+\frac{1}{3!\cdot z^7}+\frac{1}{4!\cdot z^{10}}+...$

[arseniy]

Т.е. все отрицательные "n" $C_n(z-z_0)^n$ и будут главной (отрицательной) частью ряда?

И главная часть начинается с $\frac{1}{z}$

Тогда коэффициент $C_{-1}=1$ . Ответ $2\pi i$

[Maslov]

Ага.

[arseniy]

Ура! Огромное спасибо всем, кто ответил! Особенно Максиму Маслову!