Теорема Кантора о равномерной непрерывности

[boomeer]

Как доказать теорему Кантора о равн. Непр. С помощъю леммы Гейне-Бореля

[gris]

А что там такого? С помощью леммы легко доказывается, что любое бесконечное подмножество компакта имеет предельную точку.
А используя это докажите теорему от противного. Пусть некоторое отображение непрерывно на компакте, но не равномерно непрерывно. Строим последовательность точек, где "нарушается" равномерная непрерывность. Получаем противоречие с непрерывностью в предельной точке.

[ewert]

boomeer в сообщении #644365 писал(а):

Как доказать теорему Кантора о равн. Непр. С помощъю леммы Гейне-Бореля

Почти в лоб. Фиксируем произвольный эпсилон и для каждой точки берём такую дельту, что в дельта-окрестности все значения отличаются от центрального не более чем на эпсилон-пополам; тогда между собой они различаются не более чем на эпсилон. Рассматриваем множество всех дельта-на три-окрестностей и выбираем из него на основании леммы конечное подпокрытие (т.е. выбираем конечный набор соответствующих центров), и в качестве окончательной дельты берём минимальную для этого набора. Тогда любая пара точек будет попадать в одну из выбранных окрестностей.

[Padawan]

ewert в сообщении #644400 писал(а):

дельта-на три

Можно дельта-на два.

[ewert]

Padawan в сообщении #644480 писал(а):

Можно дельта-на два.

Скорее всего нельзя. Даже и буквально так, как у меня, кажется, неверно; что-то запутался я в этих умножениях/делениях. Причём обратил внимание ещё даже до того, как отослал, но решил не разбираться: главное-то ведь идея.