Школьное уравнение

[saygogoplz]

Пусть дано уравнение $f(x)=f^{-1}(x)$, и известно, что существует 1 корень $f(x_0)=f^{-1}(x_0)$. Верно ли, что $f(x_0)=x_0$?
И вообще было бы интересно исследовать/найти теорию таких уравнений при различных условиях на $f(x)$.

[TOTAL]

Что такое $f^{-1}(x)$ ?
Что такое "существует 1 корень" ? Ровно один? По крайней мере один?

[VAL]

saygogoplz в сообщении #644326 писал(а):

Пусть дано уравнение $f(x)=f^{-1}(x)$, и известно, что существует 1 корень $f(x_0)=f^{-1}(x_0)$. Верно ли, что $f(x_0)=x_0$?

Ну если корень едиственный, то, конечно, верно. Иначе существовал бы еще один корень (из соображений симметрии относительно прямой $y=x$.

Цитата:

И вообще было бы интересно исследовать/найти теорию таких уравнений при различных условиях на $f(x)$.

Например?

[gris]

Я, кажется, понял, что ТС имеет в виду.

Для произвольной функции $g(x)$ уравнение $g(x)=-g(x)$ имеет корни в тех и только в тех точках, где $g(x)=0$.
Рассмотрим графики функций $f(x)$ и $f^{-1}(x)$. (Под $f^{-1}$ понимается обратная функция.) Осторожно развернём плоскость на $-\pi/4$. Если при этом кривые останутся графиками некоторых функций, то для них будет верно утверждение, которое я привёл для функции $g(x)$, а значит и утверждение ТС для нахождения корней только на прямой $y=x$.

То есть можно сформулировать по крайней мере достаточное условие:
Если уравнение $f(x)=-x+C$ имеет не более одного корня для любого $C$, то $f(x_0)= f^{-1}(x_0) \Longrightarrow f(x_0)=x_0$

[saygogoplz]

gris
Все правильно Вы рассуждаете, и ТС поняли , и самое главное, ОСТОРОЖНО все развернули