Ошибка в учебнике Колмогорова Фомина по функ. ан.

[grimivanov]

Определение счетной-компактности определенно не корректно. Критерий счетной-компактности - не верное утверждение.
Существует топологическое пространство, счетно-компактное в определение учебника Колмогорова-Фомина, в котором есть счетная центрированная система замкнутых множеств имеющих пустое пересечение.
Смотрите,например, книгу Константинова "Лекции по функциональному анализу" пример 2.1.1.
В 7-м издании Колмогорова-Фомина ошибка в следующем утверждении:
Пусть $x_0$ предельная точка множества точек последовательности $\{x_n\},$ тогда $x_0$ есть и предельная точка множества $x_n,x_{n+1}, \cdots$. Это неверно в произвольном топологическом пространстве.

Цитирую пример: Пусть $X = \mathbb{N}$ -- множество натуральных чисел. Определим топологию $\tau$ в $X$ следующим образом. Объявим базой топологии $\tau$ семейство

$$ \beta = \left\{V_k= \{2k-1,\; 2k\} | k \in \mathbb{N}\right\}, $$

т.е. любое множество $V_k$ из семейства $\beta$ состоит из двух чисел $2k-1$ и $2k$ для $k \in \mathbb{N}.$
Так как разные множества из $\beta$ не пересекаются, а объединение совпадает с $\mathbb{N},$ то получаем, что $\beta$ действительно является базой некоторой топологии. Покрытие $\mathbb{N}$ множествами $V_k$ счетное, и так как они не пересекаются, то нет конечного подпокрытия. Но у любого не пустого множества $E$ пространства $(\mathbb{N}, \tau)$ есть предельные точки. Действительно, если для некоторого $k \in \mathbb{N}$ точка $2k \in E,$ то $2k-1$ является предельной точкой для $E,$ так как любая окрестность точки $2k-1$ содержит точку $2k \in E,$ и $2k \neq 2k-1.$ Аналогично, если $2k-1 \in E.$

[lyuk]

Это не ошибка, а скорее неточность. В определении счетно компактного множества должна быть строго предельная точка, а не просто предельная. Для $T_1$-пространств эти понятия эквивалентны.

[grimivanov]

В смысле не ошибка? Критерий счетной компактности в такой формулировке не верен! Нужно ли сразу говорить,что это критерий для пространств с первой аксиомой отделимости, иначе это просто не верно.
В определениях не может быть неточностей, особенно в стандартном учебнике!

[lyuk]

Каждая неточность по сути своей, конечно, ошибка. Если для вас очень важно говорить, что вы нашли ошибку, то -- на здоровье! Но по-моему мнению, если в тексте содержатся в целом правильные рассуждения, которые при небольшом уточнении становятся абсолютно правильными, то такая ошибка является неточностью.
Кроме того, стандартных учебников по функанализу нет и быть не может. Существует множество разных подходов к изложению материала и никакие стандарты этого не предусмотрят. А неточности попадаются во многих учебниках или книгах, потому что пишут их люди.

[grimivanov]

Но,как Вы говорите,неточность ведь не в доказательстве,а в основном определении. И читатель с малой вероятностью найдет "неточность", если будет искать в таком месте. Сформулировано ошибочное утверждение --критерий, это может повлечь за собой последствия.

[lyuk]

Не следует переоценивать глубину обнаруженой неточности. Во-первых, следует принять во внимание, что не $T_1$-пространства не так уж часто рассматриваются в этом курсе. Во-вторых, есть разные подходы к определению счетной компактности, поэтому неточность можна легко устранить поработав с другими книгами (например, Энгелькинг, Общая топология). И в-третьих, никакой ошибки вообще нет. Только-что посмотрел внимательно Коломогорова и обнаружил, что в определении предельной точки требуется бесконечное число элементов пересечения.

[grimivanov]

Укажите, пожалуйста, в каком месте книги указано, что в определении предельной точки требуется бесконечное число элементов пересечения? В 7-издании на 92 странице дано определение предельной точки в топологическом пространстве --ничего такого там не заметил. И я не заявляю, что я нашел сверхважную ошибку. Во-первых, не я. Во-вторых, в учебнике могут быть ошибки и неточности, но не в определениях! И без разницы какой курс, формулировки не должны быть противоречивы!

[lyuk]

У меня издание второе (с.83, 5-й параграф, п.1).

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»