Инверсия окружности

[Lesobrod]

Пытаюсь замутить демонстрационный пример инверсии конических сечений
(относительно единичной окружности).
В проге (GeoGebra) можно построить конику по массиву $a_i$:

$$a_1 x^2+a_2 y^2+a_3 xy+a_4 x+a_5 y+a_6 = 0$$

Формулы инверсии понятны:

$$x'=\frac{x}{x^2+y^2},\ y'=\frac{y}{x^2+y^2}$$

А как получить коэффициенты $a'_i$?
Попытался в лоб, и даже используя символьные вычисления на Wolfram,
но как-то тухло..

[BVR]

Ну так подставить в уравнение. Инверсия инволютивна. Значит стереть штрихи и подставить.

[ИСН]

Так тогда там это.

[Алексей К.]

Lesobrod в сообщении #644067 писал(а):

А как получить коэффициенты $a'_i$?

А Вам что, думается, что после инверсии тоже коника получится?

[BVR]

Наверное, ТС спрашивал - как это сделать в Геогебре.... Так там же вроде кнопочка для инверсии есть (?)

[Lesobrod]

Алексей К. в сообщении #644078 писал(а):

Lesobrod в сообщении #644067 писал(а):

А как получить коэффициенты $a'_i$?

А Вам что, думается, что после инверсии тоже коника получится?

Эээ не уверен.
Но окружности точно переходят в окружности (если прямые тоже к ним относить). Меня больше именно они интересуют, фиг с остальными кониками.

А подстановка приводит к появлению $\frac{x^4}{x^2+y^2}$ и т.п.
Как вернуть это всё к канонической форме (хотя бы с шестью коэффициентами)?

-- Вт ноя 13, 2012 19:15:36 --

BVR в сообщении #644094 писал(а):

Наверное, ТС спрашивал - как это сделать в Геогебре.... Так там же вроде кнопочка для инверсии есть (?)

Нет. Ни в 4.2, ни даже в 5. Только гомотетия, отражения и т.д.
Да я думаю, это не сложно. Просто подзабыл квадратичные формы ...

[BVR]

Никак. Умножить на общий знаменатель и все. Образом линии второго порядка не обязательно будет линия второго порядка. Например параболу можно в кардиоду перевести, если полюс удачно выбрать. А если Вы изначально берете окружность, то там члена с $xy$ быть не должно и коэффициенты при $x^2$ и $y^2$ должны быть равны.

[Lesobrod]

Да, всё просто. Надо внимательно было всё выписать.
Спасибо BVR за сильное упрощение. Но он, по-моему, тоже немного не про то написал.
Я имел в виду инверсию не относительно полюса, а относительно единичной окружности; в комплексном виде $z \mapsto 1/\bar{z}$.
Тогда окружность

$$x^2+y^2+a\cdot x+b \cdot y +c =0$$

перейдёт в

$$ c \cdot x^2+c \cdot y^2+a\cdot x+b \cdot y +1 =0$$

[arseniiv]

Lesobrod, в GeoGebra можно конику и по пяти точкам построить. Если бы после инверсии получалась коника, можно было бы построить её по преобразованным точкам так же как и по исходным. Но получится не она, в этом можно убедиться, если построить конику через результирующие точки и посмотреть на точки пересечения её с окружностью инверсии — они не будут совпадать с точками пересечения исходной.

Lesobrod в сообщении #644097 писал(а):

Нет. Ни в 4.2, ни даже в 5. Только гомотетия, отражения и т.д.

4.0.32.0, кнопочка есть. «Отражение относительно окружности» подписана. Вероятно, поэтому не нашлась.

[Lesobrod]

arseniiv в сообщении #644120 писал(а):

4.0.32.0, кнопочка есть. «Отражение относительно окружности» подписана. Вероятно, поэтому не нашлась.

Спасибо...
Но это всё не зря!! Например, формулу я вывел правильную, работает точно как "родная" трансформация.
А вот с остальными кониками, кроме окружностей и прямых, всё как-то странно..

[arseniiv]

А вот как вы можете окружность инвертировать без особых усилий: строите исходную окружность по трём точкам или выбираете на ней их, инвертируете, и по полученным строите окружность.

[Алексей К.]

Lesobrod в сообщении #644097 писал(а):

Но окружности точно переходят в окружности (если прямые тоже к ним относить). Меня больше именно они интересуют, фиг с остальными кониками.

Lesobrod в сообщении #644125 писал(а):

А вот с остальными кониками, кроме окружностей и прямых, всё как-то странно..

Так "фиг с остальными кониками", или всё же не фиг?

Насколько я помню, при инверсии параболы получается циссоида Диоклеса, кривая 3-го порядка (детали требуемого расположения параболы не помню, но, с учётом случившегося понижения порядка $4\to3$ парабола должна проходить через центр инверсии).
При инверсии канонической гиперболы получаем лемнискату. При инверсии канонической равнобочной гиперболы --- лемнискату Бернулли (ой, сколько понаписал, не сверившись со справочниками! не наколоть(ся) бы... память-то не того...). Вариантов с эллипсами в голове нет. Всё это, естественно, сильно зависит от взаимного расположения инвертируемой кривой и окружности.

Что касается инверсии прямой/окружности относительно другой прямой/окружности, то формулку для результата я когда-то вывел, но сейчас недосуг по чердакам лазить... Будет кому интересно --- в выходные полазю.