Методологический вопрос о представлении комплексных чисел

[PAK]

[Указание: текст лучше сразу перелить в LaTeX!]
На днях возник простенький вопрос, заключающийся, вероятно, в поиске подходящего определения. Точнее, всякое комплексное число $z$ из множества (поля) комплексных чисел $\mathbb{C}$ суть $a+ib=z$, $i \cdot i=-1$ с соответствующими правилами сложения и умножения друг на друга. Последнее позволяет нам отождествить $\mathbb{C}$ с двумерным линейным пространством <<геометрических>> векторов с помощью отображения $z\mapsto(a,b)$. Это нормированное пространство с неоднородными линейными (аффинными) преобразованиями, инвариантными относительно метрики, индуцированной нормой $\|z\|=|z|=\sqrt{zz^{\ast}}$. Это не новость. Далее, рассмотрим аналог произведения комплексных чисел \[ z_2=zz_1, \eqno(1) \] при сопоставлении $z_1$ и $z_2$ вектор-столбцов $(a_1,b_1)^{T}$ и $(a_2,b_2)^{T}$ соответственно и $z=a+ib$ --- объекта $Z$, т.е. \[ \begin{pmatrix} a_2 \\ b_2 \\ \end{pmatrix} = Z \begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} Z_{11} & Z_{12} \\ Z_{21} & Z_{22} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \\ \end{pmatrix}. \eqno(2) \] Понятно, что матрица $Z$, чтобы выполнялись покомпонентные равенства для Re- и Im-частей в (1) и (2), должна иметь вид: \[ Z=\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \\ \end{pmatrix}. \] Таким образом мы получили некое матричное <<представление>> комплексного числа, а более точно --- вид линейного оператора $Z:A\to A$, где $A\subseteq\big\{(a,b)^{T}\big\}$. Итак, сопоставляя $z=a+ib$ запись \[ \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & b \\ b & 0 \\ \end{pmatrix}, \] где мнимой единице $i$ соответствует матрица \[ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}, \] мы получаем некоторую матричную систему (ассоциативную алгебру с единицей) изоморфную алгебре комплексных чисел. \\Собственно вопрос заключается в том, можно ли говорить, что соответствием $\mathbb{C}\ni z\mapsto Z\in L_2(\mathbb{R})$, где $L_2(\mathbb{R})$ --- (ассоциативная) алгебра всех матриц второго порядка с вещественными элементами, мы определили \emph{линейное представление} $\mathbb{C}$ в $\mathbb{R}$ Или я где-то попутался?
PK