Компактность

[RandomWalker]

$M$ - абстрактное многообразие;$\sigma: U \rightarrow M$ - карта на $M$.
$B(x,r) \subset B(x,s)$ - концентрические шары в $U$
функция $g \in C^{\infty}(M)$ принимает значения на $[0,1]$; $g(p)=1$, если $p \in \sigma (B(x,r))$; $g(p)=0$, если $p \notin \sigma (B(x,s))$

доказать, что $supp \: g$ - компактное множество

1) по идее $supp \: g = \sigma(B(x,s))$; $\sigma(B(x,s))$ - компактное множество
правильно или нет?

2) объясните пожалуйста, почему неверно утверждение: произвольное подмножество компактного множества компактно? и пример если можно.

[RIP]

RandomWalker писал(а):

2) объясните пожалуйста, почему неверно утверждение: произвольное подмножество компактного множества компактно? и пример если можно

В метрическом пространстве необходимым условием компактности является условие замкнутости. Поэтому достаточно взять какое-нибудь незамкнутое подмножество компакта, например: $(0;1)\subset[0;1]$.

Добавлено спустя 6 минут 54 секунды:

Re: Компактность

RandomWalker писал(а):

1) по идее $supp \: g = \sigma(B(x,s))$; $\sigma(B(x,s))$ - компактное множество
правильно или нет?

Вообще говоря, $supp \: g \ne \sigma(B(x,s))$. Но $supp\ g\subset\sigma(B(x,s))$ (если шарик предполагается замкнутым), а замкнутое подмножество компактного множества компактно.

[RandomWalker]

Определение 1: Множество М компактно, если каждое открытое покрытие множества М содержит конечное подпокрытие.

Определение 2: Открытое подпокрытие множества $E$ в метрическом пространстве $X$ называется семейство ${G_{\alpha}}$ открытых подмножеств пространства $X$, такое, что $E \subset \bigcup G_{\alpha}$

1) Мне непонятно:
почему конечное покрытие $[0,1]$ не подходит для $(0,1)$. Мне, например, хочется записать:
$(0,1) \subset [0,1] \subset \bigcup G_{\beta}$, где $ \bigcup G_{\beta}$ какое-то конечное подпокрытие для $[0,1]$.

2) есть такая теорема:

Для того, чтобы множество, лежащее в евклидовом пространстве $R^n$, было компактным в $R^n$, необходимо и достаточно, чтобы оно было ограниченным.

Поэтому $\sigma (B(x,s))$ компактно. (шарик не замкнут!)(???)


3) почему $supp \: g$ будет замкнутым подмножеством?

[RIP]

1)

$$\bigcup_{n=3}^\infty\left(\frac1n;1-\frac1n\right)=(0;1).$$

Выберите конечное подпокрытие.

2)
Подмножество $\mathbb{R}^n$ компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.

Если шарик не замкнутый, то утверждение вообще говоря неверно. Например, $M=U=(-1;1)$, $\sigma(x)=x$, $B(x,s)=B(0;1)=U$, $g(x)\equiv1$, $supp\ g=(-1;1)$ не компактно.
Если шары предполагаются открытыми, то надо требовать дополнительно $\overline{B(x,s)}\subset U$. Тогда $supp\ g\subset\sigma(\overline{B(x,s)})$

3)
$supp\ g$ замкнуто по определению: $supp\ g=\overline{\{x\mid g(x)\ne0\}}$ (замыкание)

[Brukvalub]

RandomWalker писал(а):

Для того, чтобы множество, лежащее в евклидовом пространстве $R^n$, было компактным в $R^n$, необходимо и достаточно, чтобы оно было ограниченным.

Это неверно. Теорема звучит так: Для того, чтобы множество, лежащее в евклидовом пространстве $R^n$, было компактным в $R^n$, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнутым и ограниченным.

RandomWalker писал(а):

Определение 2: Открытое подпокрытие множества $E$ в метрическом пространстве $X$ называется семейство ${G_{\alpha}}$ открытых подмножеств пространства $X$, такое, что $E \subset \bigcup G_{\alpha}$

1) Мне непонятно:
почему конечное покрытие $[0,1]$ не подходит для $(0,1)$. Мне, например, хочется записать:
$(0,1) \subset [0,1] \subset \bigcup G_{\beta}$, где $ \bigcup G_{\beta}$ какое-то конечное подпокрытие для $[0,1]$.

Это рассуждение также неверно. Для доказательства компактности интервала ( 0 ; 1 ) Вам нужно проверить, что из любого открытого покрытия именно интервала ( 0 ; 1 ) можно выбрать конечное подпокрытие. Но нетрудно придумать такое открытое покрытие этого интервала ( рекомендую Вам это сделать), которое не будет покрытием отрезка
[ 0 ; 1 ] и из которого невозможно извлечь конечного подпокрытия интервала ( 0 ; 1 ) .

RandomWalker писал(а):

2) объясните пожалуйста, почему неверно утверждение: произвольное подмножество компактного множества компактно? и пример если можно.

Придумав требуемое покрытие, Вы докажете, что интервал ( 0 ; 1 ) не является компактом, хотя является подмножеством компакта - отрезка [ 0 ; 1 ] .
RIP меня опередил на 58 секунд. Ну и ладно, пусть моё сообщение будет еще одним разъяснением.

[RandomWalker]

RIP, Brukvalub,
Спасибо! Теперь мне понятно, где ошибки и как нужно доказывать.

[RandomWalker]

$X$ замкнутое топологическое пространство. $A \subset X$ - набор изолированных точек. Нужно доказать, что $A$ являетсят замкнутым подмножеством $X$.

Док-во: построим вокруг каждой точки $a_i \in A \subset X$ открытый шар. Радиус шара $r_0$ таков, что в нем содержится лишь одна, точка из $A$, которая является центром шара. Потребуем, чтобы покрытие $X$ состояло из шаров $B(x,r_0)$. Т.к. $X$ компактно, существует конечное подпокрытие $X \subset \bigcup_{i \in I} B(x_i,r_0)$. Каждый шар покрытия содержит не более одной точки из $A$, т.е. количество шаров покрытия не больше, чем количество точек в $A$, покрытие содержит все точки из $A$. $A$ состоит из конечного множества точек, $A$ - конечно.

[Brukvalub]

Сообщение удалено

[Someone]

RandomWalker писал(а):

$X$ замкнутое топологическое пространство. $A \subset X$ - набор изолированных точек. Нужно доказать, что $A$ являетсят замкнутым подмножеством $X$.

Что такое "замкнутое топологическое пространство"? Никогда не встречал. Встречал, например, "замкнутое многообразие" - компактное многообразие без края. Или "$H$-замкнутое топологическое пространство" (оно же - "абсолютно замкнутое пространство") - такое хаусдорфово пространство, которое является замкнутым подмножеством в любом содержащем его хаусдорфовом пространстве.

RandomWalker писал(а):

Док-во: построим вокруг каждой точки $a_i \in A \subset X$ открытый шар. Радиус шара $r_0$ таков, что в нем содержится лишь одна, точка из $A$, которая является центром шара.

В произвольном топологическом пространстве нет метрики и, соответственно, нет шаров с их центрами и радиусами. Точка топологического пространства называется изолированной, если одноточечное множество, состоящее из одной этой точки, открыто. Соответственно, в этом месте своего рассуждения Вы можете для каждой изолированной точки взять одноточечную окрестность.

RandomWalker писал(а):

... Каждый шар покрытия содержит не более одной точки из $A$

А это с чего вдруг?

RandomWalker писал(а):

т.е. количество шаров покрытия не больше, чем количество точек в $A$

Раз в каждом элементе покрытия содержится не более одной точки, то элементов покрытия не меньше, чем точек (возможно, больше).

Вообще, сформулированное Вами утверждение для компактных пространств неверно (для некомпактных - тоже). Простой контрпример - топологическое пространство $\{0,\frac 1n:n\in\mathbb N\}$ с топологией, наследуемой из множества действительных чисел.

[RandomWalker]

Цитата:

в конечное подпокрытие может не попасть вообще ни одной точки из А

а как такое может быть? ведь покрытие это тоже множество.
если $A \subset X$, $X \subset \bigcup_{j=1..n} B(x_j, r_{0})$, то $A \subset \bigcup_{j=1..n} B(x_j, r_{0})$

$\bigcup_{j=1..n} B(x_j, r_{0})$ - обозначает конечное покрытие.

Добавлено спустя 9 минут 1 секунду:

Цитата:

Что такое "замкнутое топологическое пространство"?

на самом деле в задаче компактное топологическое пространство (хаусдорфово). прошу прощения.

[Someone]

Мне кажется, Вы напутали в формулировке. Множество изолированных точек в компакте (хаусдорфовом компактном пространстве) не обязано быть замкнутым.

Но есть понятие дискретного подмножества топологического пространства - такого подмножества, что каждая точка пространства имеет окрестность, содержащую не более одной точки данного множества. В $T_1$-пространстве каждое дискретное подмножество замкнуто.

[RandomWalker]

1)

Someone писал(а):

Мне кажется, Вы напутали в формулировке.

да, так и есть. должно быть именно так, как вы написали:

2)

Цитата:

Но есть понятие дискретного подмножества топологического пространства - такого подмножества, что каждая точка пространства имеет окрестность, содержащую не более одной точки данного множества.

по поводу $T1$: у нас в курсе все предполагается хаусдорфовым по умолчанию. верно ли утверждение для $T2$ ?

Утверждение: Пусть $X$ компактное топологическое пространство, $A \subset X$, каждая точка $x \in X$ имеет окрестность, содержащую не более одной точки из $A$. Тогда $A$ конечно.

Добавлено спустя 35 минут 12 секунд:

3) по поводу первого решения: если допустить, что пространство метрическое, и исправить формулировку ( пункт 2) ), решение все равно не верно?

[Someone]

Имеется группа так называемых аксиом отделимости.
$T_0$: для каждых двух различных точек топологического пространства существует окрестность одной из них, не содержащая другую.
$T_1$: для каждых двух различных точек топологического пространства существует окрестность каждой из них, не содержащая другую. Эта аксиома равносильна тому, что каждое одноточечное подмножество замкнуто.
$T_2$: для каждых двух различных точек топологического пространства существуют непересекающиеся окрестности. Эта аксиома называется также хаусдорфовой аксиомой отделимости.

Всегда $T_2\Rightarrow T_1\Rightarrow T_0$.

Имеются и другие аксиомы отделимости. Метрические пространства всегда хаусдорфовы.

RandomWalker писал(а):

по поводу $T1$: у нас в курсе все предполагается хаусдорфовым по умолчанию. верно ли утверждение для $T2$?

Поскольку условие $T_2$ - более сильное, чем $T_1$, всё, что верно для $T_1$, верно также и для $T_2$.

RandomWalker писал(а):

по поводу первого решения: если допустить, что пространство метрическое, и исправить формулировку ( пункт 2) ), решение все равно не верно?

Увы, всё равно неверно. Но замкнутость дискретного подмножества следует прямо из определения, так как это определение означает, что дискретное подмножество $T_1$-пространства (в частности, хаусдорфова или метрического) не имеет предельных точек.

[RandomWalker]

Спасибо! с доказательством утверждения понятно, но хочется еще разобраться с покрытиями и определениями:

1) Вы приводили контрпример E=$\{0,\frac 1n:n\in\mathbb N\}$, и я его не до конца понимаю. Вы предлагаете рассматривать E=$\{0,\frac 1n:n\in\mathbb N\}$ в качестве замкнутого топологического пространства и брать в нем набор из всех точек кроме 0? И смысл примера в том, что того, что недостаточно, того, чтобы подмножество состояло только из изолированных точек, нужно дополнительно, чтобы оно не имело предельных точек?

2) Покрытие (для исправленной формулировки задачи с введением метрики)

Цитата:

Док-во:построим вокруг каждой точки $a \in A \subset X$ открытый шар. Радиус шара $r_0$ таков, что в нем содержится лишь одна, точка из $A$, которая является центром шара. Потребуем, чтобы покрытие $X$ состояло из шаров $B(x,r_0)$. Т.к. $X$ компактно, существует конечное подпокрытие $X \subset \bigcup_{j=1..n} B(x_j,r_0)$. Каждый шар покрытия содержит не более одной точки из $A$, т.е. количество шаров покрытия не больше, чем количество точек в $A$, покрытие содержит все точки из $A$. $A$ состоит из конечного множества точек, $A$ - конечно.

Объясните, пожалуйста, почему это не правильно?

[Someone]

RandomWalker писал(а):

Вы предлагаете рассматривать E=$\{0,\frac 1n:n\in\mathbb N\}$ в качестве замкнутого

Компактного, а не замкнутого. Мы это уже обсуждали.

RandomWalker писал(а):

топологического пространства и брать в нем набор из всех точек кроме 0? И смысл примера в том, что того, что недостаточно, того, чтобы подмножество состояло только из изолированных точек, нужно дополнительно, чтобы оно не имело предельных точек?

Это пример компактного пространства с бесконечным множеством изолированных точек. Первоначально Вы пытались доказать, что множество изолированных точек конечно. А подмножество компакта, не имеющее предельных точек (дискретное подмножество), независимо от того, являются ли его точки изолированными, будет конечным.

RandomWalker писал(а):

Покрытие (для исправленной формулировки задачи с введением метрики)
Док-во:построим вокруг каждой точки $a \in A \subset X$ открытый шар. Радиус шара $r_0$ таков, что в нем содержится лишь одна, точка из $A$, которая является центром шара. Потребуем, чтобы покрытие $X$ состояло из шаров $B(x,r_0)$.

В этом месте от этих шаров нужно было бы потребовать, чтобы каждый из них содержал не более конечного множества точек подмножества $A$ (поскольку $A$ теперь предполагается дискретным, можно найти шар, содержащий не более одной точки; поскольку центр шара $x\notin A$, можно считать, что этот шар вообще не содержит точек множества $A$).

RandomWalker писал(а):

Т.к. $X$ компактно, существует конечное подпокрытие $X \subset \bigcup_{j=1..n} B(x_j,r_0)$. Каждый шар покрытия содержит не более одной точки из $A$

Как я объяснил чуть выше, Вы об этом не позаботились, поэтому это неверно. Это первая ошибка.

RandomWalker писал(а):

т.е. количество шаров покрытия не больше, чем количество точек в $A$

Как я уже объяснял, если в каждом шаре содержится не более одной точки множества $A$, то количество шаров покрытия не меньше количества точек в $A$. Это вторая ошибка.