Неверное утверждение?

[Nikolai Moskvitin]

В теме topic64373.html были рассмотрены перпендикулярные векторы с целочисленными координатами. Я недоумеваю, как получился этот результат. Элементарно геометрически доказывается, что неверно. Например самый интересный вариант такого доказательства:главные диагонали $AG$ и $GL$ параллелпипедов $ABCDEFGH$ и $IJKLHGMN$ равны, $AL=\sqrt{2(a^2+b^2+c^2)}$, с другой стороны, $AL=\sqrt{2((x+y)^2+(y-x)^2)}=\sqrt{2(x^ 2+y^2)}$... Но разве это (одновременно!) верно? Кроме того, как было указано в теме, для кубов это точно неверно. Объясните!!!


Uploaded with **invalid link**

-- 12.11.2012, 00:31 --

Совсем другое дело, если рассмотреть второ параллелипипед, у которого одна из вершин совпадает с серединой диагонали грани первого (а рёбра параллельны).

[gris]

В той теме допущена досадная ошибка при вычислении координат второго вектора. Правильно так: $OA(x,y,z)$, $AB(y,-x,-z)$, их скалярное произведение $(OA, AB)=xy-yx-z^2=-z^2$, то есть угол будет всегда тупой, кроме вырожденного двумерного случая.
Для плоских прямоугольников угол между диагоналями будет прямым.
В многомерном случае лучше пользоваться координатным методом, аккуратно расписав координаты второго вектора и скалярное произведение.
Кроме этого, у Вас не определён принцип прикладывания параллелепипедов. Даже в двумерном случае возможны два варианта. Хотя гораздо эффективнее прикладывать снизу, совмещая рёбра от начала координат. Тогда дальняя вершина первого параллелепипеда будет иметь координаты $(a_1,a_2, ... a_n)$, а у второго параллелепипеда координаты будут получаться перестановками и переменами знаков. В зависимости от этого и скалярное произведение будет различным. При чётном количестве измерений попарные перестановки с однократным изменением знака в каждой паре дадут перпендикулярность. А вот в нечётномерном пространстве такого можно и не достичь общем случае.

[Nikolai Moskvitin]

gris в сообщении #643404 писал(а):

При чётном количестве измерений попарные перестановки с однократным изменением знака в каждой паре дадут перпендикулярность. А вот в нечётномерном пространстве такого можно и не достичь общем случае.

Это есть в книге Розенфельда? Где посм.?

[gris]

Это я предположил. Задача-то не поставлена чётко. Я её увидел так: в n-мерном пространстве задан n-мерный же прямой параллелепипед, расположеннай так, что все его рёбра параллельны некоторым осям координат. У него проведена и отмечена какая-то главная диагональ. Возможно ли повернуть (отразить?) параллелепипед так, чтобы его рёбра оставались параллельны осям координат (другим, возможно), а отмеченная диагональ стала перпендикулярна прежнему положению. В чётномерном пространстве это легко сделать для любого паралеллепипеда, а в нечётномерном не для любого.
Это легко формализовать и свести к каким-набудь матрицам, но то ли это или не то?

Задачи у Вас интересные, но Вы их, как правило, бросаете в самом начале обсуждения

[Nikolai Moskvitin]

gris в сообщении #645639 писал(а):

Это легко формализовать и свести к каким-набудь матрицам, но то ли это или не то?

gris, всё это связано со следующей задачей, в которой сделаны только первые шаги (хотя и важные): найти все n, для которых целочисленные треугольники периметра n, не равные между собой, имеют равные углы; определить зависимость числа групп и треугольников внутри группы от n. См. тему:
topic59712.html

Путём одной удачной замены мне удалось свести часть этой задаче к уравнению, действительно решаемому с помощью матрицы. Но результат может быть очень громоздким... Кроме того, ещё и дополнительное условие равенства периметров...