Задачка на марковскую цепь

[max666]

Приветствую!
Помогите с задачкой по цепям Маркова, будьте добры.

группа из 4х кораблей подвергается обстрелу, при этом наносятся три последовательных удара и возм. сост-я системы следующие-
1. ни один не подбит
2.один подбит
3.два подбито
4.три подбито
5.все подбиты
требуется найти вероятность того, что подстрелено не менее 4х кораблей
Плюс даны три матрицы, т.е. система неоднородная

||$P_ij(1)|| = $$\left( \begin{array}{ccccc} 0,4 & 0,25 & 0,2 & 0,1 & 0,05 \\ 0 & 0,35 & 0,3 & 0,25 & 0,1\\ 0 & 0 & 0,45 & 0,4 & 0,15\\ 0 & 0 & 0 & 0,4 & 0,6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array} \right)$ ||$P_ij(2)|| = $$\left( \begin{array}{ccccc} 0,2 & 0,25 & 0,3 & 0,15 & 0,1 \\ 0 & 0,2 & 0,4 & 0,25 & 0,15\\ 0 & 0 & 0,1 & 0,5 & 0,4\\ 0 & 0 & 0 & 0,3 & 0,7\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array} \right)$ ||$P_ij(3)|| = $$\left( \begin{array}{ccccc} 0,05 & 0,1 & 0,4 & 0,25 & 0,2 \\ 0 & 0,05 & 0,45 & 0,3 & 0,2\\ 0 & 0 & 0,05 & 0,55 & 0,4\\ 0 & 0 & 0 & 0,2 & 0,8\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array} \right)$

т.е. мне что, для каждой матрицы свой граф рисовать?

[max666]

Вообще не понимаю, как это решать. С одной стороны, в каждой матрице собраны вероятности для всех трех выстрелов, тогда зачем их столько?

[--mS--]

max666 в сообщении #643236 писал(а):

Вообще не понимаю, как это решать. С одной стороны, в каждой матрице собраны вероятности для всех трех выстрелов, тогда зачем их столько?

Вы же сами пишете, что каждая матрица отвечает своему выстрелу? Почему же "для всех трёх"? Это матрицы перехода из состояния $i$ в состояние $j$ ($i,j=1,\ldots,5$) после каждого отдельного выстрела. Вектор начальных вероятностей, видимо, $p_0^T=(1, \,0,\,0,\,0,\,0)$ .
Никаких графов рисовать не надо, найдите сначала матрицу вероятностей перехода за три шага, а потом вектор вероятностей состояний системы после трёх выстрелов.

[max666]

--mS-- в сообщении #643298 писал(а):

Вы же сами пишете, что каждая матрица отвечает своему выстрелу? Почему же "для всех трёх"? Это матрицы перехода из состояния $i$ в состояние $j$ ($i,j=1,\ldots,5$) после каждого отдельного выстрела. Вектор начальных вероятностей, видимо, $p_0^T=(1, \,0,\,0,\,0,\,0)$ .
Никаких графов рисовать не надо, найдите сначала матрицу вероятностей перехода за три шага, а потом вектор вероятностей состояний системы после трёх выстрелов.

Спасибо за ответ. По поводу вектора я так и предположил, поскольку перед выстрелами все корабли были целы.
Я нашел $P_1(1) - $P_5(5), на этом ступор.

[--mS--]

max666 в сообщении #643322 писал(а):

Я нашел $P_1(1) - $P_5(5), на этом ступор.

Что такое $P_1(1)$ - $P_5(5)$, которые Вы нашли?

[AKM]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам: "использование картинок в качестве замены текста и формул (за исключением геометрических чертежей, сложных диаграмм и таблиц) на форуме не допускается (пункт I.1-м Правил)".

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[max666]

--mS-- в сообщении #643330 писал(а):

max666 в сообщении #643322 писал(а):

Я нашел $P_1(1) - $P_5(5), на этом ступор.

Что такое $P_1(1)$ - $P_5(5)$, которые Вы нашли?

вероятности нахождения системы в различных состояниях, например, если я положил $S_0$ как начальное состояние системы перед обстрелом, тогда $P_1(0)=1$; $P_2(0)=0$; $P_3(0)=0$; $P_4(0)=0$; $P_5(0)=0$,
после первого выстрела соответствующие вероятности будут равны первой строке матрицы, т.е. $P_1(1)=0,4$; $P_2(1)=0,25$; $P_3(1)=0,2$; $P_4(1)=0,1$; $P_5(1)=0,05$,
далее вычислял по формулам

[--mS--]

И что, "вероятность того, что подстрелено не менее 4х кораблей" не обнаруживается?

[max666]

--mS-- в сообщении #643429 писал(а):

И что, "вероятность того, что подстрелено не менее 4х кораблей" не обнаруживается?

Так я только одну матрицу обсчитал, а с остальными то что делать?

[--mS--]

max666 в сообщении #643350 писал(а):

далее вычислял по формулам

Что "далее вычисляли" и по каким формулам? Вы сообщили, что нашли вероятности от $P_1(1)$ до $P_5(5)$! Возвращаюсь тогда к вопросу. Что такое $P_5(5)$ и как Вы её нашли?

Вообще-то никаких $P_5(5)$ тут и близко быть не может. А вот $P_1(2),\ldots,P_5(2)$ и $P_1(3),\ldots,P_5(3)$ Вы должны найти.

[max666]

Надо, наверное, как-то более по-русски изложить ход моих рассуждений.
Вы правы, конечно же, $P_5(3)$, это все моя невнимательность.

Итак, есть матрица ||$P_ij(1)|| = $$\left( \begin{array}{ccccc} 0,4 & 0,25 & 0,2 & 0,1 & 0,05 \\ 0 & 0,35 & 0,3 & 0,25 & 0,1\\ 0 & 0 & 0,45 & 0,4 & 0,15\\ 0 & 0 & 0 & 0,4 & 0,6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array} \right)$

Перед первым выстрелом состояние системы $S_0$ - все корабли целы.
Состояние $S_1$ - один подбит, $S_2$ - 2 подбито, $S_3$ - три подбито, $S_4$ - все подбиты
Так как до первого выстрела все объекты целы, то $P_1(0)=0$
После первого выстрела вероятности соответствуют первой строке матрицы, т.е.

$P_1(1)=0,4$; $P_2(1)=0,25$; $P_3(1)=0,2$; $P_4(1)=0,1$; $P_5(1)=0,05$

Далее считаем по формуле $P_j(n+1)=\sum\limits_{i=1}^nP_i(n)\cdot P_{ij}^{(n)}$

$P_1(3)=0,064; P_2(3)=0,11; P_3(3)=0,2; P_4(3)=0,25 ;P_5(3)=0,38$

Вопрос, что с этой красотой дальше то делать?

[--mS--]

Дальше, наверное, следует разобраться в том, что за вероятности Вы нашли. Вероятность какого события есть $P_1(3)$, $P_2(3)$, и т.д. Лес за деревьями разглядеть.

[max666]

--mS-- в сообщении #643836 писал(а):

Дальше, наверное, следует разобраться в том, что за вероятности Вы нашли. Вероятность какого события есть $P_1(3)$, $P_2(3)$, и т.д. Лес за деревьями разглядеть.

Вот именно, я не понимаю, что за числа я нашел.
И что с ними делать, тоже не понимаю.

Как мне представляется, вероятности $P(1)$ - относятся к первому выстрелу, $P(2)$ - ко второму, а $P(3)$ к третьему. Но тогда не понимаю, зачем еще две матрицы, вот в чем беда.

-- 13.11.2012, 01:01 --

Вообще, матрицы, как препод мне объяснял, надо бы переписать так:

$$\left( \begin{array}{cc} - & - \\ P_1(3) & 0,064 \\ P_2(3) & 0,11 \\ P_3(3) & 0,2\\ P_4(3) & 0,25\\ P_5(3) & 0,38$\end{array} \right) \left( \begin{array}{cccccс} - & S_0 & S_1 & S_2 & S_3 & S_4 \\ S_0 & 0,2 & 0,25 & 0,3 & 0,15 & 0,1 \\ S_1 & 0 & 0,2 & 0,4 & 0,25 & 0,15\\ S_2 & 0 & 0 & 0,1 & 0,5 & 0,4\\ S_3 & 0 & 0 & 0 & 0,3 & 0,7\\ S_4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array} \right) = ||P_ij(2)||$$

но из его пояснений я ничего особо не понял.

[--mS--]

max666 в сообщении #643843 писал(а):

Вот именно, я не понимаю, что за числа я нашел.
И что с ними делать, тоже не понимаю.

Разве это не Вы писали:

max666 в сообщении #643350 писал(а):

вероятности нахождения системы в различных состояниях
...
после первого выстрела соответствующие вероятности будут равны первой строке матрицы ...

Найдите определение, что у Вас обозначено для цепи Маркова через $P_i(n)$, которое Вы вычисляете по выписанной выше формуле.

max666 в сообщении #643843 писал(а):

Как мне представляется, вероятности $P(1)$ - относятся к первому выстрелу, $P(2)$ - ко второму, а $P(3)$ к третьему. Но тогда не понимаю, зачем еще две матрицы, вот в чем беда.

Разве при вычислении $P_i(2)$ Вы не использовали вторую матрицу? А при вычислении $P_i(3)$ - третью?

Давайте так. Вот был вектор начальных вероятностей системе находиться в её состояниях. Умножаете его на матрицу перехода из начального состояния в первое. Что за вектор, из вероятностей каких событий получаете? Дальше, умножаете его на матрицу вероятностей перехода из первого состояния во второе - что за вектор получаете, из вероятностей системе что делать? Дальше умножаете его на матрицу вероятностей перехода из второго состояния в третье - что за новый вектор получаете?

Надо бы с базовыми понятиями-то разобраться.