Поведение функции

[Somenoob]

Задали следующее задание. Как будет выглядеть функция на бесконечности?

$f(x) = (1+\frac{x}{\sqrt{x^2}})^a (1-\frac{x}{\sqrt{x^2}})^b$ Что произойдет с этой функцией при $x \to \infty$?

Обычно задачи такого рода легко сразу решить, но этот случай поставил меня в тупик. Первая скобка стремится к $2^a$, вторая к $0^b=0$, получается $0$. Но в ответе написано $f(x)=\frac{1}{|x|^{2a}}$

Подскажите пожалуйста, с чего начать.

[Dan B-Yallay]

Чушь какая-то. При любом положительном $x$ функция равна нулю. Может опечатка в ответе?

[Somenoob]

Черт, извиняюсь. Тут у нас испорченный телефон. Теперь все точно правильно:

Функция $f(x) = (1+\frac{x}{\sqrt{y^2}})^a (1-\frac{x}{\sqrt{y^2}})^{a+b}$, где $y=x-c$.
Короче, $f(x) = (1+\frac{x}{\sqrt{(x-c)^2}})^a (1-\frac{x}{\sqrt{(x-c)^2}})^{a+b}$.
И ответ $f(x)=\frac{1}{|x|^{2(a+b)}}$

Сейчас попытался решить, преобразуем:
$f(x) = (1+\frac{x}{\sqrt{(x-c)^2}})^a (1-\frac{x}{\sqrt{(x-c)^2}})^a (1-\frac{x}{\sqrt{(x-c)^2}})^b$

Сокращаем иксы. Прибавляемые константы отбрасываем, так как x их доминирует на бесконечности:
$f(x) = (1+\frac{1}{\sqrt{x}})^a (1-\frac{1}{\sqrt{x}})^a (1-\frac{1}{\sqrt{x}})^b$

Дальше не понимаю. Если перемножить первые две скобки, получим:
$f(x) = (1-\frac{1}{x})^a (1-\frac{1}{\sqrt{x}})^b$

Тогда приходим к ответу $f(x)=\frac{1}{|x|^{a}}$

Что не правильно.

[ИСН]

По-моему, если выкинуть с самого начала все корни и не писать ни одного из них вовсе, запутаться стало бы сложнее.

[Dan B-Yallay]

Начиная с момента когда отбросили константу - все неправильно. Откуда в знаменателе корень из икса? И сама идея отбросить константу требует более аккуратного обоснования.

[Somenoob]

Попробуем сразу отбросить корни:
$f(x) = (1+\frac{x}{|x-c|})^a (1-\frac{x}{|x-c|})^{a+b}$
Все равно при $x \to \infty$ получается какая-то скобка 0, и в итоге 0.

[ИСН]

Что оно стремится к нулю, по-моему, с самого начала никто не сомневался. Вопрос в том, как именно.

[Somenoob]

Вот в этом то и вопрос. Как узнать, что делает функция на бесконечности, если все в итоге сокращается.

[ИСН]

Вы в своём втором сообщении это довольно бодро делали. Вот это и надо сделать, только без ошибок.

[Somenoob]

Такс.
$f(x) = (1+\frac{x}{\sqrt{(x-c)^2}})^a (1-\frac{x}{\sqrt{(x-c)^2}})^a (1-\frac{x}{\sqrt{(x-c)^2}})^b$

Перемножим первые 2 скобки, и приведем обе скобки к общему знаменателю, получим:
$(\frac{-c}{|x-c|})^a (\frac{-c}{|x-c|})^b $

В итоге получаем:
$|x|^{-(a+b)}$

Куда-то подевалась двойка. Не могу понять, куда. Ее вообще, по идее, не должно быть.

[ИСН]

ИСН в сообщении #642731 писал(а):

если выкинуть с самого начала все корни

-- Вс, 2012-11-11, 21:15 --

и куда, собственно, стремится x.

-- Вс, 2012-11-11, 21:16 --

Если Вас это немного утешит - предъявленный якобы верный ответ мне тоже представляется бредом.

[Somenoob]

ИСН в сообщении #643252 писал(а):

и куда, собственно, стремится x.

К бесконечности. А функция к нулю.

ИСН в сообщении #643252 писал(а):

Если Вас это немного утешит - предъявленный якобы верный ответ мне тоже представляется бредом.

Что ж, значит придется узнавать. По идее мне кажется мой последний ответ верным.

[ИСН]

Ваш последний ответ может быть или не быть верным, в зависимости от того, к какой именно бесконечности стремится x.

[Алексей К.]

(Somenoob)

Somenoob в сообщении #643201 писал(а):

Перемножим первые 2 скобки, и приведем обе скобки к общему знаменателю, получим:
$(\frac{-c}{|x-c|})^a (\frac{-c}{|x-c|})^b $

У меня красивше получилось:
$\left(\dfrac{-c}{|x-c|}\right)^a \left(\dfrac{-c}{|x-c|}\right)^b $