Про метрики (арктангенс переводит метрику в метрику)

[Aphelion]

Опять же возникли затруднения с элементарщиной..
Обращаюсь к Вам.. Мне нужно показать, что если \rho(x,y) - метрика, то и $\arctg\rho(x,y)$ - тоже метрика. Ну естеснно все на одном пространстве X.
Нужно для арктангенса доказать выполнение трех аксиом.
Равенство нулю понятно, симметрия тоже. Но вот фигня с неравенством треугольника. Подскажите пожалуйста, как доказать..

Заранее спасибо!

[Capella]

Функция арктангенса ограничена сверху на положительной оси. При этом используйте тот факт, что на больших $x$ она возрастает медленее, чем на меньших значениях.

[Aphelion]

Вариант ограниченности графика сверху я тоже рассматривала, только почему-то он мне показался не очень убедительным.. Мне кажется, что уместнее рассмотреть функцию $\arctg\rho(x,y)$ как суперпозицию.. Как Вы думаете?

[Capella]

вот что я имела ввиду.
Имеем три точуи $0 < x < y < z$ и имеем три растояния по модулю$ 0 < x_1, x_2, x_3$
Используя то, что я описывала в первом сообщении получаем вот такии соотношения.
При $\delta_1, \delta_2 > 0, \epsilon_1, \epsilon_2 > 0$ и исполбзуя, что аргумент функции положительное число переписываем так (я сделаю здесь одну нехорошую вещь, которую потом советую обобщить $x = 0$)
$\arctg /¦x - y /¦ = \arctg x_1 = y_1$
$\arctg /¦z - y /¦ = \arctg x_2 = \arctg ( x_1 + \delta_1) = y_2 = y_1 + \epsilon_1$, при этом используя убывающее возрастание правомерны сказать $\delta_1 < \epsilon_1$
$\arctg /¦z - x /¦ = \arctg x_3 = \arctg ( x_1 + \delta_2) = y_3 = y_1 + \epsilon_2$, при этом используя убывающее возрастание правомерны сказать $\delta_2 < \epsilon_2$
Теперь используя правые части равенств можно показать, что разница к примеру между $\epsilon_2 < y_1 + \epsilon_1$ (возможно там надо будет рассмотреть все случаи), получаете неравенство.
Насчёт всех случаев, как раз надо использовать разницу между функцией при маленьких $x$ и больших $x$

Добавлено спустя 47 секунд:

Только там надо будет всё проверить для разных индексов....

[Brukvalub]

Ясно, что если

\[\rho (x,y)\]

- метрика, и функция

\[f(x)\]

определена для неотрицательных значений х, монотонно неубывает и обладает свойствами:

\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x > 0 \Rightarrow f(x) > 0} \\ {f(0) = 0} \\ {f(x + y) \le f(x) + f(y)} \\ \end{array}} \right. \]

то

\[f(\rho (x,y))\]

тоже будет метрикой.
Проверим, что

\[x \ge 0\;,\;y \ge 0\; \Rightarrow arctg\;(x + y)\; \le arctg\;x + arctg\;y\]

(остальные требуемые свойства для функции

\[y = arctg\;x\]

проверяются без труда).

\[x \ge 0\;,\;y \ge 0 \Rightarrow 0 \le \frac{y}{{1 + (x + y)x}}\; \le y \Rightarrow 0 \le tg(arctg\;(x + y)\; - arctg\;x) \le tg(arctg\;y)\; \Rightarrow arctg\;(x + y)\; \le arctg\;x + arctg\;y\]

Вот и всё.

[alleut]

Собственно, про метрики
В пространстве $C[a;b]$ непрерывных на отрезке $[a;b]$ функций привести пример функции $f$ и метрик $\rho_1$ и $\rho_2$, таких, что $f$ липшицева в $\rho_1$, но не является таковой в $\rho_2$.
Не придумать мне функцию. Искал примеры в Гелбауме и гугле ничего не нашел.

[Brukvalub]

Да просто взять нелипшецивую в стандартной метрике ф-цию, но любая функция - липшицева в дискретной метрике

[alleut]

Brukvalub писал(а):

Да просто взять нелипшецивую в стандартной метрике ф-цию, но любая функция - липшицева в дискретной метрике

возьмем отрезок $[0;1]$, дискретную метрику и $\rho(x,y)=|x-y|$.
Например, квадратный корень будет нелипшицевым на этом отрезке, потому что константа Липшица будет неограниченно расти при приближении к нулю, так?

Ах да, определение перед моим упражнением выглядит без "ошметков" так
$|f(x)-f(y)|\leq L\rho(x,y)$
Если в рамках этого определения метрику взять дискретной, функция будет Липшицевой? Константа-то все равно будет расти

[Brukvalub]

alleut в сообщении #205087 писал(а):

Если в рамках этого определения метрику взять дискретной, функция будет Липшицевой? Константа-то все равно будет расти

Если сначала спросить одно, а затем в процессе обсуждения начать уточнять определения, то в итоге можно долго удивляться: "а чего ето они неверные ответы отвечают".

[alleut]

Brukvalub писал(а):

alleut в сообщении #205087 писал(а):

Если в рамках этого определения метрику взять дискретной, функция будет Липшицевой? Константа-то все равно будет расти

Если сначала спросить одно, а затем в процессе обсуждения начать уточнять определения, то в итоге можно долго удивляться: "а чего ето они неверные ответы отвечают".

просто тут в книге кривое определение (метрика-то слева и справа должна быть одна). если определение обычное, то вся кристально очевидно. А вот в этом случае есть варианты?

[ewert]

Brukvalub в сообщении #64227 писал(а):

Проверим, что

\[x \ge 0\;,\;y \ge 0\; \Rightarrow arctg\;(x + y)\; \le arctg\;x + arctg\;y\]

(остальные требуемые свойства для функции

\[y = arctg\;x\]

проверяются без труда).

\[x \ge 0\;,\;y \ge 0 \Rightarrow 0 \le \frac{y}{{1 + (x + y)x}}\; \le y \Rightarrow 0 \le tg(arctg\;(x + y)\; - arctg\;x) \le tg(arctg\;y)\; \Rightarrow arctg\;(x + y)\; \le arctg\;x + arctg\;y\]

Дело не в том, что это арктангенс, а в том, что функция положительна на правой полуоси и выпукла вверх. Это уже гарантирует для неё "неравенство треугольника" $f(x+y)\leqslant f(x)+f(y)$. Из выпуклости и положительности следует, что прямая, проходящая через точки $(x,\,f(x))$ и $(y,\,f(y))$, описывается уравнением $y=kx+b$ с $b\geqslant0$. Если бы точка $(x+y,\,f(x+y))$ лежала на этой же прямой, то (в силу неотрицательности $b$) требуемое неравенство уже выполнялось бы. А поскольку (в силу выпуклости) эта точка лежит не выше прямой, то неравенство выполняется тем более.

[AD]

ewert в сообщении #205314 писал(а):

Дело не в том, что это арктангенс ...

ewert, ну Вы там на даты поглядывайте, хорошо? Арктангенс обсуждали два года назад. Не, конечно, научное знание не обесценивается ...

[ewert]

Сделаю календарь своей настольной книгой. Просто ветка короткая.