53 Всеукраинская олимпиада 2012-2013 г. (из области)

[Keter]

1. Найти последние три цифры числа $\dfrac{50!}{5^{10}}$.

2. Доказать, что число $2013$ не является разностью кубов двух натуральных чисел.

3. Пусть $h$ есть высота прямоугольного треугольника, опущенная на его гипотенузу, а $r$ - радиус вписанной в этот треугольник окружности. Найти первую цифру после запятой в десятичной записи отношения $\dfrac{h}{R}$.

4. На горизонтальной плоскости лежат четыре шара радиуса $R$, а их центры образуют квадрат со стороной $2R$. Сверху в лунку, образованную этими шарами, положили пятый шар такого же радиуса. Найти расстояние от его высшей точки до плоскости.

5. Решить в положительных числах систему

$$\begin{cases} a^b=c, \\ b^c=d, \\ c^d=a, \\ d^a=b. \\ \end{cases}$$

-- 08.11.2012, 20:21 --

Сегодня был на этой олимпиаде. Я вот понять не могу... Либо я глупый и ничего не соображаю в математике, либо из-за того, что мои усилия в постижении сией науки приходятся на ночную часть дня, я жестоко тормозил. Почему мне так не даются утренние олимпиады?!

В первой задаче разложил факториал,
сократил со знаменателем,
представил в каноническом виде (в виде произведения степеней простых чисел),
проследил на что заканчиваются степени множителей канонического представления (исключил пятерку),
перемножил последние цифры,
полученное произведение опять представил в каноническом виде,
помножив на пять, последовательно получил последние цифры $....000$.

И самое главное, потом я, переписывая на чистовик, зачем то написал вместо нулей везде пятерки. Нормально? То есть описав два листа решения везде пишу типа: "так как четное число, оканчивающиеся на $2, 4, 6 или 8$ умножается на пять, то его последняя цифра $5$"! Какого.... интеграла:evil: (попытался пошутить)

Во второй тоже сглупил, как можно было забыть (или точнее забыть проверить, я не знаю, что это было), что $671=11 \cdot 61$?? Задача элементарнейшая

Третью не смотрел, всего два часа было выделено, сейчас буду думать.

Четвертую лень всю описывать. Рассмотрел вид сверху, потом вид сбоку, где виден желобок (лунка). Ответ получился $R(3+\sqrt2)$. Скорее всего не правильно, делалось все на скорую руку, много времени ушло на первую задачу, где я написал пятерки (первый раз такое чувство испытываю).

Пятое. нашел такие решения $(1; \alpha; 1; \alpha)$ и $(\alpha; 1; \alpha; 1)$, где $\alpha \in \mathbb{R}^{+}$. Ну а если ни одно из чисел не равняется единице, тогда логарифмируем, подставляем, получаем $ac=1, bd=1$, потом в исходном домножаем и имеем $b=-1$ и по-цепочке все остальные, которые не удовлетворяют условию.

[DjD USB]

В первой адаче используется формула для определения того, в какой степени простое число входит в 50!. Вот формула $[\frac{50}{5}]+[\frac{50}{5^2}]+...+[\frac{50}{5^n}]=12$

-- Чт ноя 08, 2012 20:40:23 --

Во второй очевидно нужно решить равенство $x^3-y^3=2013$. А точнее доказать что это уравнение не имеет решений в целых

-- Чт ноя 08, 2012 20:44:03 --

Во второй очевидно нужно решить равенство $x^3-y^3=2013$. А точнее доказать что это уравнение не имеет решений в целых

[Keter]

Цитата:

Во второй очевидно нужно решить равенство . А точнее доказать что это уравнение не имеет решений в целых.

Именно это я и имел ввиду под "задача элементарнейшая". А зачем два раза?

Цитата:

в какой степени простое число входит

Не понял

[Cash]

Это к тому, что на конце всего 2 нуля, третья с конца цифра - ненулевая. А нахождение показателя, с которым простое число входит в разложение факториала на простые сомножители - это из разряда обязательных знаний.
10 чисел делятся на $5$, из которых 2 еще и на $5^2$. Итого 12. Сэкономили бы кучу времени.

[Keter]

Cash, не знал я этого, но мог догадаться.. Но Вы же видели

Цитата:

...переписывая на чистовик, зачем то написал вместо нулей везде пятерки. Нормально?

-- 09.11.2012, 00:46 --

Теперь то ясно, что последние три цифры должны делится на восемь, а значит это $800$.

[Cash]

(Оффтоп)

Все от нервов... Ну так как все равно неправильно решили - может легче будет? Не зацикливайтесь на этом, в следующий раз поувереннее будете.

На эту тему в projecteuler интересная задачка есть. Точно не помню, что-то типа: найти десять последних ненулевых цифр $10^{50}!$

[Keter]

Cash, у меня есть еще надежда поучаствовать на Всеукре в Одессе, если пропустят в очный тур (первые 58 баллов сверху).

обидно, что я по баллам прохожу дальше, но "протянули" какого-то хлопца, в области


А так 11 заканчиваю и всё. И в институт.

Что с четвертой? Вроде решил правильно.

[Cash]

Цитата:

Теперь то ясно, что последние три цифры должны делится на восемь, а значит это $800$

Это неверно. Из делимости на 8 следует только четность. По факту, число оканчивается на 200. Если только я, конечно, не ошибся - считал в уме, а время позднее...

-- Пт ноя 09, 2012 02:17:33 --

Четвертая - правильно

[Keter]

Cash, та вроде 800... а ну сейчас на калькуляторе проверим

-- 09.11.2012, 01:27 --

Вот Result. Всё верно, 800.

[Cash]

Интересно, где ошибся.
я считал $2\cdot(2\cdot 3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9)^5 \mod 10$
Вроде 2.
Ну конечно. На $4$ поделить еще нужно...
Итого: $16\cdot(3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9)^5 \mod 10=6\cdot 8^5 \mod 10 =8$

[Lyoha]

Собственно, интересна только третья задача. Да и то тем, что её условие ошибочно: первая цифра после запятой может принимать значения от 0 до 4. Постоянна цифра до запятой.

[Kid_Dynamite]

Хотел бы спросить один вопрос по первой задаче:
$50!=2^{47}5^{12}A$, где $10\nmid A$.
Отсюда,

$$\dfrac{50!}{5^{10}}=2^{47}5^{2}A=100\times 2^{45}A$$

Нам теперь достаточно определить последнюю цифру в числе $2^{45}A$
Так как это число четное, но не делится на 10, то она может может оканчиваться на 2, 4, 6 или 8.
Из этих 4-х вариантов как определить какая из цифр подходит?
Не понимаю только этот момент.

[Sonic86]

Kid_Dynamite в сообщении #642006 писал(а):

Из этих 4-х вариантов как определить какая из цифр подходит?
Не понимаю только этот момент.

Если руками, то увидьте и используйте тот факт, что остатки повторяются циклично. Если не руками - читайте про теорему Эйлера.

[Kid_Dynamite]

Ну вот взял теорему Эйлера:
При $m>1$ и $\text{gcd}(a, m)=1$ имеем

$$a^{\varphi(m)}\equiv 1 \pmod m$$

Возьмем в качестве $m=10$ и в качестве $a=A$ и они взаимно простые, т.к. A не длится на $10$, то

$$A^4 \equiv 1 \pmod {10}$$

Верно?
Отсюда получаем, что $A^2 \equiv 1 \pmod {10}$ либо $A^2 \equiv 9 \pmod {10}$, но один из вариантов неверный. Как понять какой?

[Praded]

ПовозводИте двойку в степени. Вы увидите, что последняя цифра чисел повторяется с периодом 4.