норм. псевдореш.

[Sirian]

надо решить систему несовместную:
x1+...+xn=1
x1+...+xn=0
значит записываем Ax=b
и решаем уравнение
A*Ax=A*b
получаем

\[ \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 & \ldots & 2 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 2 & \cdots & 2 \\ \end{array} } \right)\left( \begin{gathered} x1 \hfill \\ \vdots \hfill \\ xn \hfill \\ \end{gathered} \right) = \left( \begin{gathered} 1 \hfill \\ \vdots \hfill \\ 1 \hfill \\ \end{gathered} \right) \]

т.е. x1+...+xn=0.5
собтвенно как найти нормальное псевдорешение теперь?

[worm2]

Строго говоря, нормальным оно должно быть относительно какого-то вектора $x^1$, чтобы минимизировать $||x-x^1||$. Если предполагать, что $x^1=0$, то нормальным будет решение, для которого $\sum x_i^2 \to \min$ при условии $\sum x_i = 0.5$. Найдёте?

[Sirian]

да я понимаю что надо найти минимум из суммы квадратов и предполагаю что ответ будет x1=...=xn=1/2n
но как показать что минимум будет именно при этих x1,...,xn?

[Brukvalub]

Sirian писал(а):

т.е. x1+...+xn=0.5

Это уравнение задает гиперплоскость, ближайшая к началу координат точка которой является точкой пересечения гиперплоскости и нормали к этой гиперплоскости, проведенной из начала координат. Реализуйте этот факт, и у Вас всё получится.

[Sirian]

чет я туплю опять...
нормаль к гиперплоскости, проходящую через О, как задать?

[Brukvalub]

Координатами направляющего вектора такой нормали будут коэффициенты при переменных в уравнении гиперплоскости.

[worm2]

Ну хорошо, тогда воспользуйтесь неравенством Коши-Буняковского: $(\mathbf{x}, \mathbf{1}) \leqslant ||\mathbf{x}||\cdot||\mathbf{1}||$, где $\mathbf{1}$ --- вектор, все координаты которого равны 1.

[Sirian]

вот не понимаю зачем нам здесь это неравенство?

Добавлено спустя 51 минуту 56 секунд:

вроде придумал как доказать что минимум будет когда x1=...=xn=1/2n
так что можно закрыть тему )