Тензорное произведение

[Chernoknizhnik]

В книжке Атьи и Макдональда сформулирована следующая задача:
Пусть $A$ - некоторое кольцо, $\alpha$ - его идеал, $M$ - модуль над $A$. Требуется доказать изоморфизм $M/\alpha M$ и $M\otimes A/\alpha$. Это просто, но авторы дают какое-то таинственное указание - предлагают точную строку $\xymatrix{0\ar[r]&\alpha\ar[r]&A\ar[r]&A/\alpha\ar[r]&0}$ тензорно умножить на $M$. Что же это даст? Ведь модуль $M$ не предполагается плоским!

[fancier]

Плоскость $M$ здесь не нужна: функтор тензорного произведения точен справа.

[Chernoknizhnik]

fancier в сообщении #641633 писал(а):

Плоскость $M$ здесь не нужна: функтор тензорного произведения точен справа.

Плоскость, конечно, не нужна - всё легко доказывается и без тензорного умножения этой самой строки на $M$. Что значит точность справа? Ведь неважно, слева или справа "домножать" , т.к. имеет место изоморфизм $A\otimes B$ и $B\otimes A$

[fancier]

Chernoknizhnik в сообщении #641660 писал(а):

Что значит точность справа?

То, что для точной последовательности $0\rightarrow \alpha \rightarrow A\rightarrow A/\alpha \rightarrow 0$ последовательность $\alpha \otimes M \rightarrow A\otimes M\rightarrow (A/\alpha)\otimes M\rightarrow 0$ точна (тензорные произведения над $A$). С какой стороны домножать, конечно, неважно.

[Chernoknizhnik]

fancier в сообщении #641676 писал(а):

Chernoknizhnik в сообщении #641660 писал(а):

Что значит точность справа?

То, что для точной последовательности $0\rightarrow \alpha \rightarrow A\rightarrow A/\alpha \rightarrow 0$ последовательность $\alpha \otimes M \rightarrow A\otimes M\rightarrow (A/\alpha)\otimes M\rightarrow 0$ точна (тензорные произведения над $A$).

Это-то да, но как отсюда вывести нужный изоморфизм?

[apriv]

Точность во втором члене этой последовательности в комплекте с сюръективностью второго отображения как раз и означает нужный изоморфизм.

[Chernoknizhnik]

Да, спасибо.
Поясните, пожалуйста, еще одну вещь - зачем нужны эти тензорные произведения (не сами тензоры и т.п., а именно произведения модулей в контексте коммутативной алгебры)? К примеру, в книге Атьи-Макдональда их свойства обсуждаются во второй главе, а дальше вроде бы и не применяются. Ведь не ради тензорных произведений они придуманы.

[fancier]

Chernoknizhnik в сообщении #641754 писал(а):

Да, спасибо.
Поясните, пожалуйста, еще одну вещь - зачем нужны эти тензорные произведения (не сами тензоры и т.п., а именно произведения модулей в контексте коммутативной алгебры)? К примеру, в книге Атьи-Макдональда их свойства обсуждаются во второй главе, а дальше вроде бы и не применяются. Ведь не ради тензорных произведений они придуманы.

Сама коммутативная алгебра служит основой для алгебраической геометрии. Тензорные произведения в двойственной геометрической картине отвечают расслоенным произведениям аффинных схем.

[Chernoknizhnik]

Спасибо, что-то даже слышал такое