Кластер и распределение Пуассона.

[Sergey K]

Вот летит металлический кластер. Каждый атом как трехмерный осциллятор. Каких-то выделенных атомов в кластере нет, все они равноправны, поэтому можно считать что у каждого из них примерно одинаковая энергия и примерно одинаковая частота колебаний. Естественно, у каждого колебания есть свой период. Отсюда вопрос:

1. Верно ли считать, что распределение энергии в кластере изменяется "тиками", через каждый период колебаний? А между этими тиками атомы считать квази изолироваными - нет передачи энергии, взаимодействием пренебречь? То есть, атомы - ячейки коробочки, при каждом тике коробочка встряхивается и - зернышки - кванты энергии перетряхиваются в ближайшие ячейки случайно. Верно ли будет такое представление, естественно, приближенное?

[Munin]

Рассмотрите два осциллятора с сильной связью, на квантовом уровне, и убедитесь, что всё совсем не так, ничем там не пренебрежёшь. $H=\tfrac{1}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2)+\tfrac{1}{2}\omega_0^2(x^2+y^2)+\alpha xy,$ $|\alpha|\not\ll\omega_0^2.$

Вы же недавно кивали головой, что в ФТТ всё совсем не так...

[Sergey K]

просто в некоторых случаях взаимодействием успешно пренебрегают.... вот я и думаю, то это или не то.

[Munin]

Чтобы чем-то пренебречь, надо:
1. Оценить величину того, чем хотите пренебречь, и того, по сравнению с чем.
2. Сравнить. Если пренебрегаемое больше 20 %, то не пренебрегать. Хорошие условия для пренебрегания - порядка 2 %, отличные - 0,2 % и меньше.
3. Подумать, а нет ли ловушки такого типа: сама пренебрегаемая величина мала, но она "накапливается" в явлении, и её интеграл велик. Другой вариант ловушки: малая величина умножается на большую.
4. Сформулировать, при каких условиях вы совершаете пренебрежение, и где находятся его границы применимости. Например, на малых временах каким-нибудь "накоплением" можно пренебречь, а на больших - уже нельзя. Тогда надо оценить характерное время, и сравнить его со своей исходной задачей на всякий случай. Даже если для исходной задачи годится - держать это время в памяти, чтобы в будущем не вылезать за его пределы.

После этого пренебрегать. Как-то так...

[Physman]

Хочется отметить, что в металлических кластерах есть такое явление - "плазмонный резонанс". Оно обусловлено кулоновским взаимодействием между электронами в кластере (и обычно описывается с помощью фейнмановских диаграмм). Поэтому, часто спектр кластера представляет собой один или несколько пиков, не соответствующих частотам самих атомов, составляющих кластер, даже если все атомы считать одинаковыми.

Munin в сообщении #640794 писал(а):

Хорошие условия для пренебрегания - порядка 2 %, отличные - 0,2 % и меньше.

Позвольте отметить, что из этого правила существует масса исключений. Так, например, если с помощью той же двухосцилляторной модели описать взаимодействие света (фотонов) и материи (экситонов, например), то, применяя несколько известных приближений, получим Гамильтониан $\hat{H}=E_1a^\dagger a+E_2b^\dagger b+g(a^\dagger b+ab^\dagger)$, где $g\ll E_1,E_2$ обычно (мэВ против эВ). И всё же, если не пренебрегать параметром связи, часто можно получить интересные эффекты, образование новых частиц. В данном конкретном случае - экситон-поляритонов.

[Munin]

Physman в сообщении #641353 писал(а):

Позвольте отметить, что из этого правила существует масса исключений.

Если вы об исключениях в смысле "сначала пренебрегли, получили считаемую модель, потом не пренебрегли, получили поправочные эффекты к этой модели" - то да, разумеется. Я пытался сориентировать в смысле, когда пренебрегать вообще нельзя, потому что пренебрежёшь - вообще ничего вразумительного не получишь.

[Physman]

Munin в сообщении #641374 писал(а):

Если вы об исключениях в смысле "сначала пренебрегли, получили считаемую модель, потом не пренебрегли, получили поправочные эффекты к этой модели" - то да, разумеется.

Я с вами, разумеется, согласен, что часто многим необходимо пренебречь, чтобы вообще что-то посчитать. Ну или чтобы получить красивую аналитику. Однако, появление новой квазичастицы (плазмона, поляритона..) едва ли можно назвать "поправочным эффектом". Хотя бы потому, что они обнаруживают новые свойства.

[Munin]

Ну, скажем, пьезоэффект - это нечто новое, но всё-таки изучая чисто механические или чисто электрические свойства кристалла, им можно пренебречь. В этом смысле он "поправка".

В вашем случае... я не обратил внимания вначале, $g$-то мала, но $E_1$ можно вычесть, так что связанные состояния типа экситонов, плазмонов, поляритонов возникают именно за счёт сильной связи. Так что я бы сказал, что я этот случай оговаривал в своём списке в п. 3 :-) ($g$ интегрируется по времени, и получается непренебрежимая величина).

[Physman]

Убедили, спасибо!
Я надеюсь, мы не запутали Sergey K своими рассуждениями. Ещё раз хочется отметить, что с кластерами - не всё так просто. Важно понять, что за кластер. Обычно, Кулон играет важную роль.