Задача по геометрии - треугольник

[Swordman]

Дано:
Равнобедренный треугольник ABC (AC-основание).
Сторона AB делится точками E и H (точка Е ближе к А, а точка Н ближе к В) на три равные части.
Затем проводятся 2 отрезка СЕ и СН которые пересекают высоту треугольника в точках М и Р соответственно (то есть СЕ=СМ+МЕ, а СН=СР+РН).
Высота пересекает основание в точке О.

Найти:
в каком соотношении делится высота треугольника точками Р и М (ВР:РМ:МО)

Заранее благодарен.

[Brukvalub]

Можно привлечь т. Менелая, а можно просто провести из О прямые, параллельные ЕС и ЕН и позвать дедушку Фалеса.

[Swordman]

А вот чуть чуть по подробнее, как этих товарищей можно привлечь???


P.S.
Не в тему, но может быть у кого-нить есть линк на учебник по комбинаторике(что бы из инета качался)?

[Brukvalub]

Swordman писал(а):

А вот чуть чуть по подробнее, как этих товарищей можно привлечь???

Процитируйте, пожалуйста, теоремы Фалеса и Менелая.

[Swordman]

Менелая - не знаю.
Фалеса - По теореме Фалеса, если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

И всё же, если бы я знал как решить данную задачу, то не обращался бы. Просто я человек, не очень близкий к матиматике(но желающий приблизиться) и мне очень бы хотелось узнать решение именно этой задачи.

[Brukvalub]

Swordman писал(а):

По теореме Фалеса, если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Кроме того, если на одной стороне угла просто взять отрезки (не обязательно равные) и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую сторону угла, то эти параллельные прямые отсекают на второй стороне угла отрезки, отношение длин которых равно отношению длин исходных отрезков на первой стороне. Используйте приведенную мной модификацию т. Фалеса и указание:

Brukvalub писал(а):

можно просто провести из О прямые, параллельные ЕС и ЕН

(дело еще и в том, что без чертежа объяснить решение геометрической задачи очень непросто, а рисовать в форуме я не умею ) А про т. Менелая можно прочесть здесь: http://www.college.ru/mathematics/cours ... heory.html
здесь: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0% ... 0%B0%D1%8F
А вот здесь ещё разобраны примеры решения задач, очень похожих на Вашу: http://www.bestreferat.ru/referat-89355.html Попробуйте разобраться по ним, как применить т. Менелая.

[bot]

Можно по линкам и не ходить. Из теоремы Менелая торчат уши простого подобия. Вот им вполне и можно обойтись.
Собственно надо определить, какую часть высоты OB занимают отрезки MO и PO.
Опускаем перпендикуляры EE' и HH' на AC. Положим AC=6a, BO=3h. Тогда OC=3a и по Фалесу AE'=E'H'=OH'=a. а из подобий EE'=h, HH'=2h.
Из подобия EE'C и MOC получаем MO:h=3a:5a => MO=3h/5
Аналогично из подобия HH'C и POC имеем PO:2h=3a:4a => PO=3h/2
Отсюда
BP=BO-PO=3h-3h/2=3h/2.
PM=PO-MO=3h/2-3h/5=9h/10
Так как отношение от величины h не зависит, то для устности вычисления положим 3h=10 и получим
BP:PM:MO=5:3:2

[Brukvalub]

bot писал(а):

Можно по линкам и не ходить. Из теоремы Менелая торчат уши простого подобия. Вот им вполне и можно обойтись.

Безусловно, Вы правы. Но надо же как-то поднимать уровень грамотности и владения самыми современными геометрическими достижениями древних греков у нынешних школьников! Вот я и дал несколько ссылок для расширения кругозора и получения новых навыков:D

[bot]

В этом отношении мне тоже надо поднимать уровень грамотности.
Сколько раз мне ни говорили как легко запомнить формулировку, а я если сталкиваюсь с ней в работе абитуриента, то проверяю подобием.
В результате порой обнаруживаю, что меня пытались надуть.

[faruk]

Brukvalub писал(а):

...надо же как-то поднимать уровень грамотности и владения самыми современными геометрическими достижениями древних греков...

Цитата:

Wikipedia:
...Вначале в какой-либо прикладной области возникает необходимость в применении математических методов и накапливаются соответствующие эмпирические приемы (для геометрии это — «измерение земли» в т. н. Древнем Египте).

Затем возникает математическая дисциплина со своей аксиоматикой (для геометрии это — время Евклида).

Следом идет внутриматематическое развитие и преподавание (считается, что большинство результатов элементарной геометрии получено учителями гимназий в XIX в.). При этом на запросы исходной прикладной области перестают обращать внимание, и та порождает новые научные дисциплины (сейчас «измерением земли» занимается не геометрия, а геодезия и картография).

Затем научный интерес к исходной дисциплине иссякает, но преподавание по традиции продолжается (элементарная геометрия до сих пор изучается в средней школе, хотя трудно понять, в каких практических задачах может понадобиться, например, теорема о том, что высоты треугольника пересекаются в одной точке).

Следующий этап — окончательное вытеснение дисциплины из реальной жизни в историю науки (объем преподавания элементарной геометрии в настоящее время постепенно сокращается, в частности, ей все меньше уделяется внимания на вступительных экзаменах в вузах).

Сказанное не означает, что геометрия не нужна человечеству. Базовые понятия и знания в этой области необходимы для решения многих практических задач. Речь о том, что абстрактные теоретические изыскания приводят к получению чисто научных результатов, не имеющих практического значения (примером является теорема о высотах треугольника). Акцент на таких результатах приводит к постепенному вытеснению геометрии из реальной жизни. При этом базовые геометрические понятия и знания переносятся в другие дисциплины - инженерную графику, геодезию и др.

К интеллектуальным дисциплинам, закончившим свой жизненный путь, относится средневековая схоластика. Как отмечает проф. МГУ им. М. В. Ломоносова В. Н. Тутубалин [7], теория вероятностей и математическая статистика успешно двигаются по ее пути — вслед за элементарной геометрией.

Wikipedia: Эконометрика

[Brukvalub]

faruk писал(а):

Речь о том, что абстрактные теоретические изыскания приводят к получению чисто научных результатов, не имеющих практического значения (примером является теорема о высотах треугольника). Акцент на таких результатах приводит к постепенному вытеснению геометрии из реальной жизни. При этом базовые геометрические понятия и знания переносятся в другие дисциплины - инженерную графику, геодезию и др.

Да-да, а Митрофанушка еще бы добавил, что и географию тоже учить ни к чему - извозчик и так куда надо довезет

faruk писал(а):

К интеллектуальным дисциплинам, закончившим свой жизненный путь, относится средневековая схоластика. Как отмечает проф. МГУ им. М. В. Ломоносова В. Н. Тутубалин [7], теория вероятностей и математическая статистика успешно двигаются по ее пути — вслед за элементарной геометрией.

Вряд ли человек, посвятивший всю свою жизнь научной и практической деятельности в теории вероятностей, стал бы так отзываться о своей работе. Да и наличие на мех-мате сразу двух кафедр (теории вероятностей и математической статистики), на которых ведутся активные математические исследования, никак не вяжется с близким концом этих наук.

[PAV]

Я эту работу [7] не читал (и не нашел). Но она 1977 года. Так что конец явно затянулся...

Скорее всего, эта фраза является результатом фантазии автора статьи из Википедии. Скорее всего, Тутубалин просто реально рассуждает о действительно существующих границах применимости, это он и в других работах делает. А какой-то читатель сделал отсюда очень далеко идущие выводы.