Сопряженный оператор

[iwntll]

Здравствуйте! Помогите найти оператор, сопряженный оператору $(Ax)(t) = \int ^1 _t x(s)ds$ в пространстве $C[0,1]$. Проблема именно в пространстве, в $L_2[0,1]$ как искать знаю. Думаю, что это $(Ax)(t) = \int ^t _0 x(s)ds$, но не знаю как доказать. Как искать сопряженный оператор, если не известен общий вид функционала в $C[0,1]$?

[alcoholist]

Сопряженный оператор в другом пространстве действует

[ewert]

iwntll в сообщении #639574 писал(а):

Как искать сопряженный оператор, если не известен общий вид функционала в $C[0,1]$?

Как это так неизвестен?... Общеизвестно, что все те функционалы задаются в соответствующем смысле всевозможными функциями ограниченной вариации.

[iwntll]

Да, вид известен, просто сначала пытался не пользоваться этим. Теперь пользуюсь(по частям интеграл Стилтьеса, потом факт, что функция ограниченной вариации равна нулю в 0 - такими задается функционал):
$\int ^1_0 (\int ^1_t x(s)ds) dg(t) = (\int ^1_t x(s)ds)\cdot g(t)|_0^1 - \int ^1_0 g(t) d(\int ^1_t x(s)ds)dt = \int ^1_0 x(t)g(t)dt$

Ответ получается странный, не совпадает со случаем $L_2[0,1]$. Верно ли это? Ведь $C[0,1]$ вложено в $L_2[0,1]$, нельзя ли как-нибудь воспользоваться этим?

[ewert]

iwntll в сообщении #639762 писал(а):

Ответ получается странный,

Это ещё не ответ -- Вы не привели правую часть к виду, который требуется, т.е. к соотв. интегралу Стилтьеса.

iwntll в сообщении #639762 писал(а):

Ведь $C[0,1]$ вложено в $L_2[0,1]$, нельзя ли как-нибудь воспользоваться этим?

Формально говоря, нельзя: именно потому, что вложено -- сопряжённое к $C[0,1]$ пространство шире, чем $L_2[0,1]$.

[iwntll]

Насколько я понимаю должно получиться $\int ^1_0 x(t)g(t)dt = \int ^1_0 x(t) d(\int ^t_0g(s)ds)$. Только не понятно как обосновать этот переход, ведь функция g может быть разрывной. Или здесь играет роль, что она непр слева?

[ewert]

iwntll в сообщении #640360 писал(а):

Или здесь играет роль, что она непр слева?

Нет, это как раз не имеет значения: непрерывность конкретно слева -- это искусственная договорённость, нужная лишь для взаимной однозначности сопоставления функционалам функций ограниченной вариации. А имеет значение только интегрируемость этой функции; ну, функции ограниченной вариации уж заведомо интегрируемы. Даже по Риману, тем более по Лебегу.

[iwntll]

То есть можно сослаться, что это верно для любой g, интегрируемой? А где можно посмотреть доказательство этого факта? Везде где нашел, предполагается гладкость $d(\int ^t_0g(s)ds)$, но если g разрывна, то интеграл от нее просто непрерывен, не обязательно гладкий

[ewert]

iwntll в сообщении #640396 писал(а):

Везде где нашел, предполагается гладкость $d(\int ^t_0g(s)ds)$,

Если предполагается, то совершенно напрасно. Раз уж мы дошли до точного определения сопряжённого оператора, то всё, что требуется от этого интеграла -- быть функцией ограниченной вариации, ну а это-то тривиально.

[iwntll]

Извините, но не пойму - как из того, что интеграл в $d(\int ^t_0g(s)ds)$ - функция ограниченной вариации, следует верность равенства $\int ^1_0 x(t)g(t)dt = \int ^1_0 x(t) d(\int ^t_0g(s)ds)$, где g - любая функция ограниченной вариации, то есть может быть разрывной

[ewert]

iwntll в сообщении #640415 писал(а):

где g - любая функция ограниченной вариации, то есть может быть разрывной

В этом конкретном месте самой функции $g(x)$ даже и не обязательно быть функцией ограниченной вариации -- достаточно быть всего лишь интегрируемой. Тогда интеграл от неё будет абсолютно непрерывной функцией, а известно: интеграл Стилтьеса по абсолютно непрерывной функции равен обычному интегралу с производной от этой функции. Что поделать -- есть такая теорема.

[iwntll]

Спасибо большое, разобрался!