Не тривиальное накрытие

[xmaister]

Какие у $SO(n)$ есть нетривиальные накрытия?

[apriv]

У группы $\mathbb Z/2\mathbb Z$ не очень много подгрупп, а универсальное накрытие $\mathrm{SO}(n)$ (во всяком случае, если $n\geq 3$ и характеристика поля не равна двум) — это группа $\mathrm{Spin}(n)$.

[xmaister]

apriv в сообщении #640099 писал(а):

группа $\mathrm{Spin}(n)$.

Ранее не слышал про такую... Гугл говорит что это спинорная группа над $\mathbb{R}^n$, т.е. подмножество алгебры Клиффорда. Алгебра Клиффорда определена следующим образом:

Википедия писал(а):

Пусть $K$ — коммутативное кольцо с единицей, $E$ — свободный $K$-модуль, $Q$ — квадратичная форма на $E$. Алгеброй Клиффорда квадратичной формы $Q$ (или пары $(E, Q)$) называется факторалгебра $Cl(E, Q)$ тензорной алгебры $T(E)$, $K$-модуля $E$ по двустороннему идеалу, порождённому элементами вида $x \otimes x - Q(x,x)1,~~x\in E$. Элементы (векторы) из $E$, являясь тензорами ранга $1$, рассматриваются также и как элементы $Cl(Q)$, причём соответственное отображение является мономорфизмом (вложением) модулей $E \hookrightarrow Cl(Q)$.

Я не понял, почему $T(E)=K\oplus\bigoplus\limits_{k=1}^{\infty}\undertext{\underbrace{E\otimes\ldots\otimes E}_k$. И, если рассматривать $Cl(\mathbb{R}^n,Q)$, то какую брать квадратичную $Q$?

[apriv]

xmaister в сообщении #640206 писал(а):

Я не понял, почему $T(E)=K\oplus\bigoplus\limits_{k=1}^{\infty}\undertext{\underbrace{E\otimes\ldots\otimes E}_k$.

Это определение тензорной алгебры. Удобнее, конечно, писать просто $T(E)=\bigoplus_{k=0}^\infty E^{\otimes k}$.

Цитата:

И, если рассматривать $Cl(\mathbb{R}^n,Q)$, то какую брать квадратичную $Q$?

Такую невырожденную квадратичную форму, изометрии которой (с определителем 1) Вы обозначаете через $\mathrm{SO}$. Для вещественных чисел через $\mathrm{SO}(n)$ обозначают то, что получено из положительно определенной формы, а через $\mathrm{SO}(p,q)$ — то, что получено из формы сигнатуры $(p,q)$; любая квадратичная форма над $\mathbb{R}$ эквивалентна одной из таких. Для комплексных чисел они вообще все эквивалентны, так что неважно.