2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Не тривиальное накрытие
Сообщение04.11.2012, 16:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Какие у $SO(n)$ есть нетривиальные накрытия?

 Профиль  
                  
 
 Re: Не тривиальное накрытие
Сообщение04.11.2012, 22:50 
Заслуженный участник


08/01/12
915
У группы $\mathbb Z/2\mathbb Z$ не очень много подгрупп, а универсальное накрытие $\mathrm{SO}(n)$ (во всяком случае, если $n\geq 3$ и характеристика поля не равна двум) — это группа $\mathrm{Spin}(n)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Не тривиальное накрытие
Сообщение05.11.2012, 11:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
apriv в сообщении #640099 писал(а):
группа $\mathrm{Spin}(n)$.

Ранее не слышал про такую... Гугл говорит что это спинорная группа над $\mathbb{R}^n$, т.е. подмножество алгебры Клиффорда. Алгебра Клиффорда определена следующим образом:
Википедия писал(а):
Пусть $K$ — коммутативное кольцо с единицей, $E$ — свободный $K$-модуль, $Q$ — квадратичная форма на $E$. Алгеброй Клиффорда квадратичной формы $Q$ (или пары $(E, Q)$) называется факторалгебра $Cl(E, Q)$ тензорной алгебры $T(E)$, $K$-модуля $E$ по двустороннему идеалу, порождённому элементами вида $x \otimes x - Q(x,x)1,~~x\in E$. Элементы (векторы) из $E$, являясь тензорами ранга $1$, рассматриваются также и как элементы $Cl(Q)$, причём соответственное отображение является мономорфизмом (вложением) модулей $E \hookrightarrow Cl(Q)$.

Я не понял, почему $T(E)=K\oplus\bigoplus\limits_{k=1}^{\infty}\undertext{\underbrace{E\otimes\ldots\otimes E}_k$. И, если рассматривать $Cl(\mathbb{R}^n,Q)$, то какую брать квадратичную $Q$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Не тривиальное накрытие
Сообщение05.11.2012, 18:56 
Заслуженный участник


08/01/12
915
xmaister в сообщении #640206 писал(а):
Я не понял, почему $T(E)=K\oplus\bigoplus\limits_{k=1}^{\infty}\undertext{\underbrace{E\otimes\ldots\otimes E}_k$.

Это определение тензорной алгебры. Удобнее, конечно, писать просто $T(E)=\bigoplus_{k=0}^\infty E^{\otimes k}$.
Цитата:
И, если рассматривать $Cl(\mathbb{R}^n,Q)$, то какую брать квадратичную $Q$?

Такую невырожденную квадратичную форму, изометрии которой (с определителем 1) Вы обозначаете через $\mathrm{SO}$. Для вещественных чисел через $\mathrm{SO}(n)$ обозначают то, что получено из положительно определенной формы, а через $\mathrm{SO}(p,q)$ — то, что получено из формы сигнатуры $(p,q)$; любая квадратичная форма над $\mathbb{R}$ эквивалентна одной из таких. Для комплексных чисел они вообще все эквивалентны, так что неважно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group