Маятник

[dovlato]

В плоском теле сделаны 2 дырочки, между которыми известно расстояние $L$. Центр масс тела лежит на одной прямой с обеими дырочками.
При подвесе на первую дырку частота малых колебаний $\omega_1$, при подвесе на 2-ю дырку - $\omega_2$. Найти положение центра масс.

[Bulinator]

$$\left\{\begin{array}{c}\omega_1=\sqrt{\frac{l+d}{g}}\\ \omega_2=\sqrt{\frac{l+L-d}{g}}\end{array}\right.,$$

где $l$-длина нити а $d$-расстояние от первой дырочки до центра тяжести.

[Батороев]

Отношение расстояний цм от дырочек:
$\dfrac{l_1}{l_2}=\dfrac{\omega^2_2}{\omega^2_1}$

откуда:
$l_1=\dfrac{L}{\omega^2_1+\omega^2_2}\cdot \omega^2_2$

[dovlato]

Bulinator, а затем и Батороев успешно решали задачу для математического маятника.
Речь, правда, идёт - о физическом: "в плоском теле..".

[ewert]

dovlato в сообщении #640242 писал(а):

Bulinator, а затем и Батороев успешно решали задачу для математического маятника.
Речь, правда, идёт - о физическом: "в плоском теле..".

Видите ли, математический маятник есть предельный случай физического. И поскольку никаких других данных в условии не задано, а задача для физического маятника решено верно -- одно из двух: или ответ от дополнительных данных не зависит и, следовательно, ответ верен (что, конечно, неправда), или данных не хватает и задача, соответственно, поставлена некорректно (что совсем уж нехорошо).

[mihiv]

Частота малых колебаний физического маятника равна $\omega =\sqrt {\frac {mgl}{J}}\qquad (1)$,где $l$-расстояние от точки подвеса до центра тяжести, $J$-момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку подвеса.
Обозначим расстояние от первой дырочки до центра тяжести через $x$, тогда расстояние от второй дырочки до центра тяжести равно $L-x$.
Из (1) получим $J_1=\dfrac {mgx}{\omega _1^2},J_2=\dfrac {mg(L-x)}{\omega _2^2}.\qquad (2)$
По теореме Штейнера $J_1=J_0+mx^2,J_2=J_0+m(L-x)^2\qquad(3)$, где $J_0$-момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести.
Из (2) и (3) находим:

$$x=\dfrac {L-\frac g{\omega _2^2}}{2-\frac {g(\omega_1^2+\omega _2^2)}{L\omega _1^2\omega _2^2}}$$

[dovlato]

По существу, ответ mihiv (у меня он такой же) освобождает от необходимости отвечать ewert)).
В моих задачах содержится ровно столько информации, сколько необходимо.
В данной задаче я столкнулся с неожиданным. Нетрудно доказать, что в таких маятниках существует
максимальная частота малых колебаний. И приведенной информации достаточно, чтобы её рассчитать. Но.. почему-то получаются неправдоподно сложные дроби с квадратами и четвёртыми степенями. Чувство, что споткнулся на почти ровном месте.
Даже неохота приводить написанное.

[Munin]

А как выглядит функция частоты от точки сверления дырочки? Бывают ли в ней локальные экстремумы (кроме очевидного локального минимума)?

[mihiv]

dovlato в сообщении #640361 писал(а):

Нетрудно доказать, что в таких маятниках существует
максимальная частота малых колебаний.

Если опять обозначить через $x$ расстояние от точки подвеса до центра тяжести, то

$$\omega ^2=\dfrac {mgx}{J_0+mx^2}.$$

Максимальное значение этого выражения достигается при $x=\sqrt {\frac {J_0}{m}}$ и равно

$$\omega _{\max }^2=\frac g2\sqrt \frac {m}{J_0},$$

где $J_0$-момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести.

[dovlato]

Munin в сообщении #640374 писал(а):

А как выглядит функция частоты от точки сверления дырочки? Бывают ли в ней локальные экстремумы (кроме очевидного локального минимума)?

Формула:

$$\omega_1^2=\omega^2(l_1)=g\frac{l_1}{l_0^2+l_1^2}$$

Здесь $l_0$ - индивидуальная характеристика тела; кажется, именуется радиус инерции или похоже. Короче

$$J_0=ml_0^2$$

Отсюда ясно главное: равные частоты будут давать точки подвеса, находящиеся на окружностях с центром центре масс.
Причём, как нетрудно убедиться, $\omega(x)=\omega(1/x)$.
А максимум достигается при $l_1=l_0.$

-- Пн ноя 05, 2012 20:21:20 --

-- Пн ноя 05, 2012 20:22:53 --

Mihiv, конечно, я с этим согласен. Но $J_0$ нам не дан. А если нам даны только омега первая и вторая и длина эль - вот тут я и попробовал выразить всё только через них. И поразился, насколько же там всё загромоздилось..

[Munin]

dovlato в сообщении #640393 писал(а):

И поразился, насколько же там всё загромоздилось..

Но если $J_0$ просто выражается, и через него всё просто выражается, то можно просто не подставлять одно выражение в другое, а оставить композицией двух функций.

[dovlato]

Чёрт знает..вроде "по теории" действительно так. Может, какое-нибудь упрощение просматриваю.
В общем, если кто сподобится - было бы интересно. В принципе логично было бы распространить на дырки,
произвольно (не обязательно на одной прямой) распределённые по плоскости.

[Demondey]

mihiv в сообщении #640391 писал(а):

Максимальное значение этого выражения достигается при $x=\sqrt {\frac {J_0}{m}}$ и равно

Почему максимальное значение достигается при этом значении? Откуда это взялось?
Я знаю, что это так, но не совсем понимаю откуда такое условие..

[mihiv]

Demondey в сообщении #1169902 писал(а):

Почему максимальное значение достигается при этом значении?

$$\omega ^2=\dfrac {mgx}{J_0+mx^2}=g\sqrt {\dfrac m{J_0}}\dfrac t{1+t^2}$$

где $t=x\sqrt {\dfrac m{J_0}}, f(t)=\dfrac t{1+t^2}=\dfrac 1{\frac 1t+t}.$ Максимум $f(t)$ равный $\frac 12$ достигается при $t=1$, так как $\dfrac 1t+t\geq 2$.