цилиндры на горке

[Oleg Zubelevich]

На наклонную плоскость в поле силы тяжести поставлены два цилиндра массы которых одинаковы и равны $m$, а радиусы $r$. Центры масс цилиндров совпадают с геометрическими центрами. Моменты инерции цилиндров относительно их осей вращения равны соответственно $J_B=J,\quad J_A=\gamma J,\quad \gamma\le 1$. Цилиндры могут катиться по плоскости без проскальзывания. Коэффисиент сухого трения между цилиндрами равен $f$. Найти закон движения каждого цилиндра после того как систему отпустили.

[Батороев]

Если $m,r$ обоих цилиндров равны, то $\gamma=1$.

[Oleg Zubelevich]

в задаче не написано, что цилиндры полые. радиусы одинаковые, массы одинаковые, а распределение масс разное

[Батороев]

(Оффтоп)

По умолчанию цилиндры принимаются сплошными, поэтому следует дополнительно отметить их конструктивные различия. Например, как это сделано в задаче 38.26 сборника Мещерского.

[ewert]

Да тут нужно просто тупо выписать равенство угловых ускорений:

$\dfrac{mg\sin\alpha-N(f+1)}{mg\sin\alpha-N(f-1)}=\dfrac{mr^2+\gamma J}{mr^2+J},$

где $N$ -- сила давления цилиндров друг на друга, откуда и найти ту $N$ и всё прочее. Надо только ещё оговорить, что если вдруг после решения этого уравнения числитель и знаменатель левой части окажутся вдруг отрицательными, то движения не будет вообще -- система залипнет. Возможен ли такой случай -- не знаю; лень было проверять.

[dovlato]

Я таки дотащил до ответа. Вот, если не ошибся:

$$(2+k_1+k_2+f(k_2-k_1))\frac{dV}{dt}=2g\sin\alpha$$

$$k_1=\frac{J_1}{m_1R_1^2}; k_2=\frac{J_2}{m_2R_2^2}$$

И так как $k_2>k_1$, то $dV/dt>0$. При любом $f$!
Значит, тут не залипнут.. Интересно, а взять штук 10 - будут липнуть или нет.

[Батороев]

(если не наврал )

Если $a_2>a_1>0$ ускорения центров масс соответственно второго (верхнего) и первого (нижнего) цилиндров, то можно записать:

$N=m(a_2-a_1)$

$F_{\text{тр.}}=fm(a_2-a_1)$

Решая относительно МЦС первого цилиндра, условие залипания можно записать, как:

$fm(a_2-a_1)r>(ma_2+ma_1)r$

откуда:

$f>\dfrac{a_1+a_2}{a_2-a_1}$


$a_1=\dfrac{mr^2g\sin\alpha}{mr^2+\gamma J}$

$a_2=\dfrac{mr^2g\sin\alpha}{mr^2+J}$

$f>\dfrac{2mr^2+J(1+\gamma)}{J(1-\gamma)}$.

p.s. Говорят, что существуют такие материалы, бруски из которых не скатываются с наклонной плоскости при угле, превышающем $45^{\circ}$, т.е. $f>1$. Сам не проверял.

[ewert]

Уговорили. Выписываем честно моменты для верхнего и нижнего шариков относительно их точек касания с плоскостью, а также условие равенства угловых ускорений:

$$M_1=mgr\sin\alpha-Nr(f+1),\ \ \ M_2=mgr\sin\alpha-Nr(f-1),\ \ \ \dfrac{M_1}{M_2}=\beta,\ \ \text{где}\ \ \beta\equiv\dfrac{mr^2+\gamma J}{mr^2+J}<1.$$

Собственно сила $N$ их давления друг на друга нам не нужна, исключаем её из этих трёх уравнений:

$$M_2(f+1)+M_1(1-f)=2mgr\sin\alpha,\ \ \ M_1=\beta M_2.$$

Откуда $M_2=\dfrac{2mgr\sin\alpha}{f+1+\beta(1-f)}$ и, соответственно, угловое ускорение $\omega=\dfrac{mgr\sin\alpha}{mr^2+J}\cdot\dfrac{2}{2-(1-\beta)(1-f)}.$ Залипания действительно не будет, если только коэффициент трения $f$ не окажется вдруг ну очень больше единицы. Если коэффициент трения меньше единицы, то верхний шарик дополнительно разгоняет нижний (естественно), если больше единицы -- наоборот, притормаживает. Если моменты инерции одинаковы, то и шарики катятся свободно, независимо от трения.

dovlato в сообщении #640118 писал(а):

Интересно, а взять штук 10 - будут липнуть или нет.

Если коэффициенты трения меньше единицы, то не будут. Ведь самый нижний шарик заведомо разгоняется предыдущим, а по индукции это верно и для всех шариков, кроме первого. Если, конечно, моменты инерции монотонно убывают; в противном случае залипаний тоже не будет, но возможны разрывы в цепочке.